Динамика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00041331

Обоснование

1. Рассмотрим задачу в системе отсчёта, связанной с Землёй, которую будем считать инерциальной.

2. Введём ось $Ox$ вверх вдоль наклонной плоскости, а ось $Oy$ перпендикулярно ей вверх (указано на рисунках).

3. Тело движется поступательно, поэтому для описания его движения можем использовать модель материальной точки.

4. Для материальной точки в инерциальной системе отсчёта применим второй закон Ньютона.

5. Силы, действующие на тело, постоянные, а значит, его движение можно считать равноускоренным, что следует из второго закона Ньютона.

6. Тело движется с постоянным ускорением $\vec{a}$, поэтому движение тела является равноускоренным движением, и его можно описывать формулами кинематики равноускоренного движения.

Решение

Дано:

$\alpha = 30^\circ$

$\mu = 0{,}6$

$v_0 = 10$ м/с

Найти:

$S$ — ?

Изобразим на рисунках силы, действующие на тело, в двух случаях: когда телу только сообщили скорость $v_0$ и когда тело уже остановилось и прошло путь $S$.

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:

$\vec{F}_{тр} + m\vec{g} + \vec{N} = m\vec{a}$

Распишем его в проекциях на оси $Ox$ и $Oy$:

$\begin{cases} -F_{тр} - mg\sin(\alpha) = -ma \\ N - mg\cos(\alpha) = 0 \end{cases} \quad (1)$

$\begin{cases} ma = F_{тр} + mg\sin(\alpha) \\ N = mg\cos(\alpha) \end{cases} \quad (2)$

Тело движется $\Rightarrow F_{тр} = F_{тр,max} = \mu N \Rightarrow F_{тр} = \mu mg\cos(\alpha)$, подставим это выражение в первое уравнение системы (2):

$ma = \mu mg\cos(\alpha) + mg\sin(\alpha) \Rightarrow a = \dfrac{mg \cdot (\mu\cos(\alpha) + \sin(\alpha))}{m} = g(\mu\cos(\alpha) + \sin(\alpha))$

После остановки сила трения сменит своё направление, но в предельном случае (если тело поедет вниз) останется равна $F'{тр} = F{тр,max}$ по модулю (см. рис. (2)), проверим, начнёт ли тело двигаться вниз по наклонной плоскости. Для этого сравним $F_{тр,max}$ и $mg\sin(\alpha)$:

$\dfrac{F_{тр,max}}{mg\sin(\alpha)} = \dfrac{\mu mg\cos(\alpha)}{mg\sin(\alpha)} = \mu,\mathrm{ctg}(\alpha) = 0{,}6 \cdot \mathrm{ctg}(30^\circ) \approx 1{,}04 > 1 \Rightarrow$ тело будет покоиться.

Значит, весь путь $S$ будет состоять из движения тела вверх до остановки, тогда воспользуемся формулой $v_x^2 - v_{0x}^2 = 2a_x(x_2 - x_1)$, где в нашем случае $x_2 - x_1 = S$, $a_x = -a$, $v_x^2 = 0$ (т. к. тело остановилось), $v_{0x} = v_0$:

$v_x^2 - v_{0x}^2 = 2a_x(x_2 - x_1) \Rightarrow S = \dfrac{v_x^2 - v_{0x}^2}{-2g(\mu\cos(\alpha) + \sin(\alpha))} = \dfrac{v_0^2}{2g(\mu\cos(\alpha) + \sin(\alpha))}$

Подставим численные значения и вычислим путь:

$S = \dfrac{v_0^2}{2g(\mu\cos(\alpha) + \sin(\alpha))} = \dfrac{(10\ м/с)^2}{2 \cdot 10\ м/с^2 \cdot \left(0{,}6 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}\right)} \approx 4{,}9$ м

Ответ: $S = \dfrac{v_0^2}{2g(\mu\cos(\alpha) + \sin(\alpha))} \approx 4{,}9$ м