Динамика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00041199

Дано: $m$. Найти: $a_1$.

Обоснование

1. Введём инерциальную систему отсчёта (ИСО), связанную с Землёй.

2. Все тела движутся поступательно, поэтому их можно считать материальными точками. Применим второй и третий законы Ньютона, записывать их будем относительно ИСО.

3. Так как нить нерастяжима, то её длина остаётся неизменной, значит можно использовать кинематические связи для описания движения тел.

4. Так как нить невесома и блоки идеальные, трение отсутствует, можно утверждать, что сила натяжения вдоль одной нити остаётся неизменной.

5. Силы, действующие на тело, постоянные, а значит его движение можно считать равноускоренным, что следует из второго закона Ньютона.

Решение

Пусть натяжение нижней верёвки равно $T$, $T_1$ — натяжение части верхней верёвки между грузами, $T_2$ — натяжение части верхней верёвки между грузом и нижним блоком. Ось $x$ направим вертикально вниз.

Запишем второй закон Ньютона для всех грузов:

$\begin{cases} 1 & m\vec{g} + \vec{T}_1 = m\vec{a}_2 \\ 2 & m\vec{g} + \vec{T}'' = m\vec{a}_1 \\ 3 & m\vec{g} + \vec{T}_2 + \vec{T}'_1 = m\vec{a}_3 \end{cases}$

Поскольку блоки невесомы, сумма сил, приложенных к нижнему блоку, равна нулю — через него перекинута нижняя нить, и её тянут два отрезка с натяжением $T$ каждый:

$T_2 = 2T$

Найдём связь ускорений. Нижняя нить перекинута через подвижный блок: один её конец закреплён неподвижно, второй держит нижний груз. Длина нижней нити постоянна:

$(x_3 - x_б) + (x_2 - x_б) = l$

В приращениях:

$\Delta(x_3 - x_б) + \Delta(x_2 - x_б) = \Delta l$

Разделим на $\Delta t$ и получим производную:

$x'3 - x'б + 0 - x'б = 0 \quad \Rightarrow \quad v{3x} - v{бx} - v{бx} = 0$

Аналогично, взяв вторую производную, получим связь ускорений:

$a_{3x} - 2a_{бx} = 0 \quad \Rightarrow \quad a_{3x} = 2a_{бx}$

Верхние грузы и подвижный блок связаны одной нерастяжимой нитью, поэтому их ускорения равны по модулю. Обозначим этот модуль $a$, тогда для нижнего груза $a_1 = 2a$.

Спроецируем второй закон Ньютона на ось $x$:

$\begin{cases} 1 & mg - T = 2ma \\ 2 & T_1 - mg = ma \\ 3 & mg + 2T - T_1 = ma \end{cases}$

Сложим два последних уравнения — натяжение $T_1$ сокращается:

$\begin{cases} mg - T = 2ma \\ 2T = 2ma \end{cases} \Rightarrow a = \dfrac{g}{3}$

С учётом связи ускорений:

$a_1 = 2a = \dfrac{2g}{3}$

Ускорение нижнего груза направлено вертикально вниз.

Ответ: $a_1 = \dfrac{2g}{3}$, направлено вертикально вниз