ID: 00041334
На шероховатую наклонную плоскость положили брусок (см. рис.). Тангенс угла $\alpha$ наклона плоскости к горизонту равен 0,15. В первом случае бруску ударом придали скорость $\vec{v}$, направленную вдоль плоскости вверх, а во втором — вниз.
Путь, пройденный бруском до остановки на наклонной плоскости во втором случае, будет больше, чем в первом в $n = 2{,}5$ раза. Определите коэффициент трения бруска о плоскость $\mu$. Какие законы Вы используете для описания движения бруска? Обоснуйте их применение к данному случаю.
Обоснование
1. Рассмотрим задачу в системе отсчёта, связанной с Землёй, которую будем считать инерциальной.
2. Тело в обоих случаях движется поступательно, поэтому для описания его движения можем использовать модель материальной точки.
3. Для материальной точки в инерциальной системе отсчёта применим второй закон Ньютона.
4. Силы, действующие на тело, постоянные, а значит, его движение можно считать равноускоренным, что следует из второго закона Ньютона.
Решение
Дано:
$\mathrm{tg},\alpha = 0{,}15$
$n = 2{,}5$
Найти:
$\mu$ — ?
При движении на брусок действует три силы: сила тяжести $mg$, сила реакции опоры $N$ и сила трения $F_{тр}$. Расставим силы, действующие на брусок, и введём оси.
Запишем второй закон Ньютона для первого случая в векторном виде:
$\vec{F}_{тр1} + m\vec{g} + \vec{N} = m\vec{a}_1,$
Спроецируем второй закон Ньютона на оси в первом случае:
$\begin{cases} Ox: & F_{тр1} + mg\sin\alpha = ma_1 \\ Oy: & N = mg\cos\alpha, \end{cases}$
Сила трения скольжения равна:
$F_{тр} = \mu N,$
Тогда
$ma_1 = \mu mg\cos\alpha + mg\sin\alpha \Rightarrow a_1 = g(\mu\cos\alpha + \sin\alpha) = g\cos\alpha(\mathrm{tg},\alpha + \mu)$
Аналогично для второго случая запишем второй закон Ньютона в векторном виде:
$\vec{F}_{тр2} + m\vec{g} + \vec{N} = m\vec{a}_2,$
Спроецируем второй закон Ньютона на оси во втором случае:
$\begin{cases} Ox: & mg\sin\alpha - F_{тр2} = -ma_2 \\ Oy: & N = mg\cos\alpha, \end{cases}$
$-ma_2 = mg\sin\alpha - \mu mg\cos\alpha \Rightarrow a_2 = g(\mu\cos\alpha - \sin\alpha) = g\cos\alpha(\mu - \mathrm{tg},\alpha)$
Путь можно найти по формуле кинематики:
$s = \dfrac{v^2 - u^2}{2a},$
где $u = 0$ — конечная скорость.
Найдя каждый путь из формулы выше, можно получить искомое соотношение с учётом того, что конечная скорость равна нулю и начальные скорости одинаковы:
$\dfrac{s_2}{s_1} = \dfrac{v^2}{2a_2} \cdot \dfrac{2a_1}{v^2} = \dfrac{a_1}{a_2} \Rightarrow$
$\Rightarrow \dfrac{g\cos\alpha(\mathrm{tg},\alpha + \mu)}{g\cos\alpha(\mu - \mathrm{tg},\alpha)} = \dfrac{\mathrm{tg},\alpha + \mu}{\mu - \mathrm{tg},\alpha} = n$
Выразим коэффициент трения и подставим численные значения:
$\mu = \dfrac{\mathrm{tg},\alpha(n + 1)}{n - 1} = \dfrac{0{,}15 \cdot (2{,}5 + 1)}{2{,}5 - 1} = 0{,}35$
Ответ: $\mu = \dfrac{\mathrm{tg},\alpha(n + 1)}{n - 1} = 0{,}35$
Ответ: $\mu = \dfrac{\mathrm{tg},\alpha(n + 1)}{n - 1} = 0{,}35$