Динамика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00041313

Обоснование

1. Введём инерциальную систему отсчёта (ИСО), связанную с Землёй.

2. Все тела движутся поступательно, поэтому их можно считать материальными точками.

3. Для материальных точек в ИСО можем применить второй закон Ньютона.

4. Так как нить нерастяжима, то её длина остаётся неизменной, значит, можно использовать кинематические связи для описания движения тел.

5. Так как нить невесома и блоки идеальные, трение отсутствует, можно утверждать, что сила натяжения нити вдоль одной нити остаётся неизменной: $T_1 = T_2 = T_3 = T_4 = T_5 = T_6$, $T_7 = T_8$.

6. Силы, действующие на тело, постоянные, а значит, его движение можно считать равноускоренным, что следует из второго закона Ньютона.

Решение

Дано:

$m_1 = 1$ кг

$m_2 = 2$ кг

$m_3 = 3$ кг

Найти:

$a_2$ — ?

Изобразим на рисунке все силы, действующие на грузы и блоки.

Запишем второй закон Ньютона для каждого из грузов:

$\begin{cases} \vec{T}_1 + m_1\vec{g} = m_1\vec{a}_1 \\ \vec{T}_8 + m_2\vec{g} = m_2\vec{a}_2 \\ \vec{T}_6 + m_3\vec{g} + \vec{N} = m_3\vec{a}_3 \end{cases}$

где $a_i$ — ускорение $i$-го груза, $N$ — сила реакции опоры стола.

По второму закону Ньютона для подвижного невесомого блока, его масса пренебрежимо мала, поэтому равнодействующая сил равна нулю:

$\vec{T}_3 + \vec{T}_4 + \vec{T}_7 = \vec{0}$

Спроецируем с условием пункта 5 обоснования:

$T_8 = T_7 = T_3 + T_4 = 2T_1$

Спроецировав на ось $y$ и $x$ уравнения системы:

$\begin{cases} y & m_1 g - T_1 = m_1 a_1 \\ y & m_2 g - 2T_1 = m_2 a_2 \\ x & T_1 = m_3 a_3 \end{cases}$

Пусть $m_1 = m$, тогда по условию $m_2 = 2m$, $m_3 = 3m$. Преобразуем систему:

$\begin{cases} y & mg - T_1 = ma_1 \\ y & 2mg - 2T_1 = 2ma_2 \\ x & T_1 = 3ma_3 \end{cases}$

Подставив третье уравнение в первые два:

$\begin{cases} y & g - 3a_3 = a_1 \\ y & 2g - 6a_3 = 2a_2 \end{cases}$

Так как нить нерастяжима, то:

$(x_2 - x_1) + 2(y_3 - y_2) + (y_5 - y_3) + (y_4 - y_2) = \mathrm{const}.$

Так как $x_2$, $y_2$ и $(y_5 - y_3)$ не изменяются, то, продифференцировав, получим

$-v_{1x} + 2v_{3y} + v_{4y} = 0 \Rightarrow -a_{1x} + 2a_{3y} + a_{4y} = 0$

Спроецируем на оси:

$-a_3 + 2a_2 + a_1 = 0 \Rightarrow a_3 = 2a_2 + a_1$

Подставив в систему, получим:

$\begin{cases} g - 3(2a_2 + a_1) = a_1 \\ 2g - 6(2a_2 + a_1) = 2a_2 \end{cases}$

Или

$\begin{cases} g - 6a_2 - 3a_1 = a_1 \\ 2g - 12a_2 - 6a_1 = 2a_2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} g - 6a_2 = 4a_1 \mid \cdot 1{,}5 \\ 2g - 14a_2 = 6a_1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 1{,}5g - 9a_2 = 6a_1 \\ 2g - 14a_2 = 6a_1 \end{cases}$

Теперь вычтем из первого уравнения второе:

$1{,}5g - 9a_2 - 2g + 14a_2 = 0 \Rightarrow a_2 = \dfrac{g}{10}$

Подставим численные значения:

$a_2 = \dfrac{10}{10} = 1$ м/с²

Ответ: $a_2 = \dfrac{g}{10} = 1$ м/с²