ID: 00041198
На горизонтальном столе лежит деревянный брусок. Коэффициент трения между поверхностью стола и бруском $\mu = 0{,}2$. Если приложить к бруску силу, направленную вверх под углом $\alpha = 60°$ к горизонту, то брусок будет двигаться по столу равномерно. С каким ускорением будет двигаться этот брусок по столу, если приложить к нему такую же по модулю силу, направленную под углом $\beta = 45°$ к горизонту? Какие законы Вы используете для решения задачи? Обоснуйте их применение.
Источник: Основная волна 2012
Дано: $\mu = 0{,}2$, $\alpha = 60°$, $a_1 = 0$, $\beta = 45°$, $F_1 = F_2 = F$. Найти: $a_2$.
Обоснование
1. Введём инерциальную систему отсчёта (ИСО), связанную с Землёй.
2. Тело движется поступательно, поэтому его можно считать материальной точкой.
3. Для описания движения материальной точки в ИСО будем использовать второй закон Ньютона.
4. Во втором случае силы, действующие на брусок, постоянны по модулю и направлению, поэтому постоянна и их равнодействующая. Следовательно, по второму закону Ньютона ускорение бруска постоянно, и его движение можно считать равноускоренным.
Решение
В обоих случаях на брусок действуют: приложенная сила $\vec{F}$ (вверх под углом к горизонту), сила реакции опоры $\vec{N}$, сила трения $\vec{F}_{тр}$ (против движения) и сила тяжести $m\vec{g}$. Ось $Ox$ направим горизонтально по движению, ось $Oy$ — вертикально вверх.
Первый случай. Второй закон Ньютона:
$\vec{F}_1 + \vec{N}1 + \vec{F}{тр1} + m\vec{g} = m\vec{a}_1$
Движение равномерное, значит ускорение равно нулю:
$\begin{cases} Ox: ; F\cos\alpha - F_{тр1} = 0 \ Oy: ; N_1 + F\sin\alpha = mg \end{cases}$
Сила трения скольжения $F_{тр} = \mu N$, поэтому:
$\begin{cases} Ox: ; F\cos\alpha - \mu N_1 = 0 \quad (1) \ Oy: ; N_1 + F\sin\alpha = mg \quad (2) \end{cases}$
Обрати внимание: сила тянет брусок вверх под углом, поэтому она частично разгружает стол — реакция опоры $N_1 = mg - F\sin\alpha$ меньше веса. Подставим это в (1) и выразим $F$:
$F = \dfrac{\mu mg}{\cos\alpha + \mu\sin\alpha} \quad (3)$
Второй случай. Та же по модулю сила под углом $\beta$, брусок разгоняется:
$\begin{cases} Ox: ; F\cos\beta - \mu N_2 = ma_2 \quad (4) \ Oy: ; N_2 + F\sin\beta = mg \quad (5) \end{cases}$
где $N_2$ — сила реакции опоры во втором случае, $a_2$ — искомое ускорение. Подставим $N_2 = mg - F\sin\beta$ из (5) в (4):
$a_2 = \dfrac{F(\cos\beta + \mu\sin\beta)}{m} - \mu g$
Или с учётом (3) — масса сокращается:
$a_2 = \dfrac{\mu g(\cos\beta + \mu\sin\beta)}{(\cos\alpha + \mu\sin\alpha)} - \mu g$
Подставим числа:
$a_2 = \dfrac{0{,}2 \cdot 10 \cdot (\cos 45° + 0{,}2 \cdot \sin 45°)}{(\cos 60° + 0{,}2 \cdot \sin 60°)} - 0{,}2 \cdot 10 = \dfrac{2 \cdot 0{,}849}{0{,}673} - 2 \approx 0{,}52$ м/с$^2$
Ответ: $a_2 = \dfrac{\mu g(\cos\beta + \mu\sin\beta)}{(\cos\alpha + \mu\sin\alpha)} - \mu g \approx 0{,}52$ м/с$^2$
Ответ: $a_2 = \dfrac{\mu g(\cos\beta + \mu\sin\beta)}{(\cos\alpha + \mu\sin\alpha)} - \mu g \approx 0{,}52$ м/с$^2$