Динамика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00041330

Обоснование

1. Будем рассматривать задачу в системе отсчёта, связанной с Землёй, будем считать эту систему отсчёта инерциальной (ИСО).

2. Будем описывать бруски $m$ и $2m$ моделью материальной точки, так как они движутся поступательно.

3. Из пунктов 1 и 2 следует, что движение брусков $m$ и $2m$ можно описать с помощью второго закона Ньютона.

4. Нить невесомая, поэтому силы натяжения на её концах равны: $T_1 = T_2 = T$.

5. Нить нерастяжимая, поэтому бруски движутся с одинаковым по модулю ускорением как единая система: $a_1 = a_2 = a$.

Решение

Дано:

$F = 5$ Н

$\alpha = 30^\circ$

$\mu = 0{,}2$

Найти:

$T$ — ?

На бруски, движущиеся по поверхности стола, действуют силы тяжести $2m\vec{g}$ и $m\vec{g}$, силы нормальной реакции опоры $\vec{N}1$ и $\vec{N}2$, силы трения скольжения $\vec{F}{тр1}$ и $\vec{F}{тр2}$, силы натяжения нити $\vec{T}_1$ и $\vec{T}_2$, а на правый брусок (массой $2m$) дополнительно действует сила $\vec{F}$ (см. рисунок).

Запишем второй закон Ньютона для каждого из брусков в векторной форме:

$2m\vec{a}_1 = \vec{F} + \vec{T}1 + \vec{F}{тр1} + 2m\vec{g} + \vec{N}_1$ и $m\vec{a}_2 = \vec{T}2 + \vec{F}{тр2} + m\vec{g} + \vec{N}_2.$

Второй закон Ньютона в проекциях на оси $Ox$ и $Oy$ для брусков имеет вид:

$Ox: \ 2ma_1 = F\cos\alpha - T_1 - F_{тр1}; \quad (1)$

$Oy: \ 0 = N_1 + F\sin\alpha - 2mg; \quad (2)$

$Ox: \ ma_2 = T_2 - F_{тр2}; \quad (3)$

$Oy: \ 0 = N_2 - mg. \quad (4)$

Модули сил трения скольжения, действующих на бруски, определяются выражениями:

$F_{тр1} = \mu N_1$ и $F_{тр2} = \mu N_2. \quad (5)$

Из уравнения (2) выразим силу нормальной реакции опоры, действующую на брусок $2m$:

$N_1 = 2mg - F\sin\alpha.$

Из уравнения (4) выразим силу нормальной реакции опоры, действующую на брусок $m$:

$N_2 = mg.$

Подставим $N_1$ и $N_2$ в формулы (5):

$F_{тр1} = \mu(2mg - F\sin\alpha), \qquad F_{тр2} = \mu mg.$

Подставим $F_{тр1}$ в уравнение (1), учитывая $T_1 = T$:

$2ma = F\cos\alpha - T - \mu(2mg - F\sin\alpha) = F\cos\alpha - T - 2\mu mg + \mu F\sin\alpha. \quad (1')$

Подставим $F_{тр2}$ в уравнение (3), учитывая $T_2 = T$:

$ma = T - \mu mg \Rightarrow T = ma + \mu mg. \quad (3')$

Подставим выражение $(3')$ для $T$ в уравнение $(1')$:

$2ma = F\cos\alpha - (ma + \mu mg) - 2\mu mg + \mu F\sin\alpha,$

$2ma + ma = F\cos\alpha + \mu F\sin\alpha - \mu mg - 2\mu mg,$

$3ma = F(\cos\alpha + \mu\sin\alpha) - 3\mu mg.$

Отсюда ускорение, с которым скользят бруски:

$a = \dfrac{F(\cos\alpha + \mu\sin\alpha)}{3m} - \mu g.$

Подставим найденное $a$ в выражение $(3')$ для силы натяжения нити:

$T = ma + \mu mg = m\left(\dfrac{F(\cos\alpha + \mu\sin\alpha)}{3m} - \mu g\right) + \mu mg = \dfrac{F(\cos\alpha + \mu\sin\alpha)}{3} - \mu mg + \mu mg.$

В итоге:

$T = \dfrac{F(\cos\alpha + \mu\sin\alpha)}{3}.$

Вычислим численное значение:

$T = \dfrac{5\ Н \cdot (\cos 30^\circ + 0{,}2 \cdot \sin 30^\circ)}{3} = \dfrac{5\ Н \cdot (0{,}87 + 0{,}2 \cdot 0{,}5)}{3} = \dfrac{5\ Н \cdot 0{,}97}{3} \approx 1{,}61$ Н.

Ответ: $T = \dfrac{F(\cos\alpha + \mu\sin\alpha)}{3} \approx 1{,}61$ Н