ID: 00026659
На горизонтальном неподвижном столе лежит доска. На доске находится маленький брусок массой m = 200 г (см. рисунок). Брусок и доска связаны невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок, закреплённый на стене (отрезки нити, не лежащие на блоке, горизонтальны и параллельны друг другу). Коэффициент трения между бруском и доской μ _{1} = 0,5, между столом и доской μ _{2} = 0,3. Доску тянут вправо с постоянной горизонтальной силой, модуль которой F = 6 Н. Чему равна масса доски M , если модуль ускорения бруска относительно стола а = 1 м/с²? Трением в оси блока и сопротивлением воздуха пренебречь. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на тела.
Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Источник: ФИПИ
Сначала распутаем сюжет. На неподвижном столе лежит доска, а на доске — маленький брусок массой $m=200\ \text{г}=0{,}2$ кг. Их связали нитью и перекинули её через блок, закреплённый на стене слева; оба участка нити горизонтальны. Доску тянут вправо постоянной силой $F=6$ Н. Так как нить огибает блок, движение доски вправо заставляет брусок ехать влево. Модуль ускорения бруска относительно стола равен $a=1$ м/с². Требуется найти массу доски $M$.
Обоснуем модель. Стол неподвижен, поэтому систему отсчёта связываем со столом (с Землёй) — она инерциальная, и в ней справедлив второй закон Ньютона. Брусок и доску считаем материальными точками: они движутся поступательно, не вращаются, поэтому хватит уравнений в проекциях на горизонталь. Нить нерастяжима, а блок неподвижен, поэтому на сколько сместится доска вправо, ровно на столько же сместится брусок влево: модули их скоростей и ускорений одинаковы, $a_M=a_m=a=1$ м/с². Нить невесома, а блок невесом и без трения в оси — идеальный блок только меняет направление нити, не меняя её натяжения, поэтому натяжение по всей нити одно и то же и равно $T$. Поверхности скользят друг по другу, значит силы трения — трения скольжения, для них верен закон $F_{\text{тр}}=\mu N$; направлены они против относительного движения. Сопротивлением воздуха и трением в оси блока пренебрегаем по условию.
Шаг 1 — куда смотрит трение. Доска едет вправо, брусок влево. Относительно бруска доска движется вправо, поэтому она увлекает брусок вправо силой $\mu_1 mg$. По третьему закону Ньютона брусок действует на доску такой же по модулю силой, но влево. Стол же тормозит доску: доска скользит по нему вправо, поэтому трение стола направлено влево.
Шаг 2 — брусок. На брусок по горизонтали действуют натяжение $T$ (влево, в сторону блока) и трение о доску $\mu_1 mg$ (вправо). За положительное направление возьмём «влево»: $$ma=T-\mu_1 mg\quad\Rightarrow\quad T=m(a+\mu_1 g).$$ Числа: $T=0{,}2\cdot(1+0{,}5\cdot10)=0{,}2\cdot6=1{,}2\ \text{Н}$, а сила трения бруска о доску равна $\mu_1 mg=0{,}5\cdot0{,}2\cdot10=1\ \text{Н}$.
Шаг 3 — с какой силой стол прижат. Доска несёт на себе брусок, поэтому стол давит на доску снизу с силой $N_2=(M+m)g$, и трение доски о стол равно $\mu_2(M+m)g$. Здесь важно не забыть массу бруска — это самая частая ошибка в такой задаче.
Шаг 4 — доска. Вправо тянет только $F$; влево — натяжение $T$ (второй конец нити тоже уходит к блоку), трение о брусок сверху $\mu_1 mg$ и трение о стол снизу $\mu_2(M+m)g$. За положительное направление берём «вправо»: $$Ma=F-T-\mu_1 mg-\mu_2(M+m)g.$$
Шаг 5 — выражаем массу доски. Раскроем скобки и соберём всё с $M$ в левой части: $$Ma+\mu_2 Mg=F-T-\mu_1 mg-\mu_2 mg,$$ $$M=\frac{F-T-\mu_1 mg-\mu_2 mg}{a+\mu_2 g}.$$
Шаг 6 — числа. Числитель: $6-1{,}2-1-0{,}3\cdot0{,}2\cdot10=6-1{,}2-1-0{,}6=3{,}2$. Знаменатель: $1+0{,}3\cdot10=4$. Тогда $$M=\frac{3{,}2}{4}=0{,}8\ \text{кг}.$$
Проверим себя обратной подстановкой: $Ma=0{,}8$ Н, $T=1{,}2$ Н, трение о брусок $1$ Н, трение о стол $0{,}3\cdot(0{,}8+0{,}2)\cdot10=3$ Н. Сумма: $0{,}8+1{,}2+1+3=6$ Н — ровно заданная сила, и всё сходится.