ID: 00026661
Два тела подвешены за нерастяжимую и невесомую нить к идеальному блоку, как показано на рисунке. При этом первое тело массой $m_{1}$ = 500 г движется из состояния покоя вниз с ускорением а . Если первое тело опустить в воду с плотностью ρ = 1000 кг/м³, находящуюся в большом объёме, система будет находиться в равновесии. При этом объём погруженной в в оду части тела равен V = $1,5\cdot 10^{-4} \text{м}^{3}$ . Сделайте рисунки с указанием сил, действующих на тела в обоих случаях. Определите ускорение а первого тела.
Источник: ФИПИ
Сначала разберём оба рисунка. Слева: через идеальный блок под потолком перекинута нить, на её концах два тела. Первое тело массой $m_1=500\ \text{г}=0{,}5$ кг опускается из состояния покоя с ускорением $a$ — значит, оно перевешивает второе тело массой $m_2$, и то поднимается с тем же по модулю ускорением. Справа: то же самое, но первое тело опущено в воду плотностью $\rho=1000\ \text{кг/м}^3$, и теперь система стоит на месте — вода вытолкнула ровно столько, сколько не хватало для равновесия. Объём погружённой части тела $V=1{,}5\cdot10^{-4}\ \text{м}^3$. Именно второй рисунок и позволяет узнать неизвестную массу $m_2$, а по ней найти ускорение в первом случае.
Обоснуем модель. Систему отсчёта связываем с Землёй (с блоком, закреплённым на потолке) — она инерциальная, в ней справедлив второй закон Ньютона. Тела считаем материальными точками, движущимися поступательно, поэтому достаточно уравнений в проекциях на вертикаль. Нить нерастяжима, поэтому насколько опустилось первое тело, настолько же поднялось второе: модули их скоростей и ускорений одинаковы, $a_1=a_2=a$. Нить невесома, блок идеальный (невесомый, без трения в оси) — такой блок только меняет направление нити, не меняя модуля натяжения, поэтому натяжение по всей нити одинаково и равно $T$. Вода налита «в большом объёме», её уровень при погружении тела практически не меняется, жидкость покоится — значит, на погружённую часть тела действует сила Архимеда $F_A=\rho g V$, направленная вертикально вверх и равная весу вытесненной воды. Во втором случае система покоится, поэтому для каждого тела сумма сил равна нулю. Сопротивлением воды при этом пренебрегаем: тело в равновесии не движется, и вязкое сопротивление равно нулю.
Шаг 1 — второй случай, равновесие в воде. Для второго тела (оно висит в воздухе): $$T_2=m_2g.$$ Для первого тела, погружённого в воду: вниз тяжесть $m_1g$, вверх натяжение $T_2$ и сила Архимеда $\rho gV$: $$m_1g=T_2+\rho gV.$$ Подставляем $T_2=m_2g$ и сокращаем на $g$: $$m_2=m_1-\rho V.$$
Шаг 2 — считаем массу второго тела. $\rho V=1000\cdot1{,}5\cdot10^{-4}=0{,}15\ \text{кг}$, поэтому $$m_2=0{,}5-0{,}15=0{,}35\ \text{кг}.$$
Шаг 3 — первый случай, движение в воздухе. Первое тело идёт вниз с ускорением $a$, второе — вверх с тем же ускорением. Второй закон Ньютона в проекциях (для каждого тела положительным берём направление его собственного движения): $$m_1a=m_1g-T_1,\qquad m_2a=T_1-m_2g.$$ Здесь $T_1$ — натяжение нити в первом случае.
Шаг 4 — складываем уравнения. Натяжение уходит: $$(m_1+m_2)a=(m_1-m_2)g\quad\Rightarrow\quad a=\frac{(m_1-m_2)g}{m_1+m_2}.$$
Шаг 5 — подставляем. Разность масс мы уже знаем: $m_1-m_2=\rho V=0{,}15$ кг, сумма $m_1+m_2=0{,}5+0{,}35=0{,}85$ кг. Тогда $$a=\frac{0{,}15\cdot10}{0{,}85}=\frac{1{,}5}{0{,}85}\approx1{,}76\ \text{м/с}^2\approx1{,}8\ \text{м/с}^2.$$
Проверим себя: ускорение получилось заметно меньше $g$ — так и должно быть, ведь тела почти уравновешивают друг друга, разница масс всего $0{,}15$ кг из $0{,}85$ кг. Красиво и то, что ответ можно записать одной формулой $a=\dfrac{\rho Vg}{m_1+m_2}$: вся «движущая» разность масс — это ровно та масса воды, которую тело вытесняет.