ID: 00026658
Под действием постоянной горизонтальной силы $\overset{\to}{F}$ клин массой M = 1 кг движется по гладкой горизонтальной поверхности стола. По шероховатой поверхности клина, составляющей угол α = 30° с горизонтом, равномерно (относительно клина) скользит вниз брусок массой m = 0,2 кг. Коэффициент трения между бруском и клином µ = 0,6. Найдите модуль ускорения клина. Сопротивлением воздуха пренебречь. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на брусок. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Источник: ФИПИ
Разберёмся в сюжете. По гладкому столу горизонтальной силой $\vec F$ разгоняют клин массой $M=1$ кг. Его наклонная грань поднимается вправо под углом $\alpha=30^\circ$ к горизонту, и на этой грани лежит брусок массой $m=0{,}2$ кг. Грань шероховатая, коэффициент трения $\mu=0{,}6$. Сказано, что брусок скользит вниз по грани равномерно относительно клина. Именно эта фраза — ключ ко всей задаче: относительная скорость постоянна, значит относительное ускорение равно нулю, и брусок в лабораторной системе движется с тем же ускорением, что и клин.
Обоснуем модель. Систему отсчёта берём связанной со столом (с Землёй) — она инерциальная, в ней и записываем второй закон Ньютона; сам клин движется с ускорением, поэтому связанная с ним система неинерциальна, и в ней пришлось бы вводить силу инерции. Брусок «скользит по клину», размерами его пренебрегаем и считаем материальной точкой, движущейся поступательно, — поэтому достаточно уравнений в проекциях, без правила моментов. Раз брусок движется относительно клина равномерно, его ускорение относительно клина равно нулю, а значит, ускорение бруска относительно стола совпадает с ускорением клина и по модулю, и по направлению: оно горизонтально и равно искомому $a$. Брусок реально скользит по грани, поэтому трение — трение скольжения, для него верен закон $F_{\text{тр}}=\mu N$, и направлено оно против относительного движения бруска, то есть вверх вдоль наклонной грани. Сопротивления воздуха нет.
Шаг 1 — какие силы действуют на брусок. Их три: тяжесть $mg$ вниз, нормальная реакция грани $N$ перпендикулярно грани и сила трения $\mu N$ вдоль грани, направленная вверх по склону (брусок относительно клина съезжает вниз, значит трение тормозит его вверх). Оси удобно взять обычные: $x$ — горизонтально, в сторону силы $\vec F$ (вправо), $y$ — вертикально вверх. Именно эти три стрелки и рисуем.
Шаг 2 — проекции сил. Грань поднимается вправо под углом $\alpha$, поэтому нормаль к ней наклонена влево от вертикали на тот же угол $\alpha$: её проекции равны $(-N\sin\alpha;\ N\cos\alpha)$. Трение направлено вверх вдоль грани, то есть вправо-вверх: $(\mu N\cos\alpha;\ \mu N\sin\alpha)$.
Шаг 3 — второй закон Ньютона для бруска. По вертикали ускорения нет (брусок движется горизонтально, вместе с клином): $$N\cos\alpha+\mu N\sin\alpha-mg=0\quad\Rightarrow\quad N=\frac{mg}{\cos\alpha+\mu\sin\alpha}.$$ По горизонтали ускорение равно $a$: $$-N\sin\alpha+\mu N\cos\alpha=ma.$$
Шаг 4 — выражаем ускорение. Подставляем найденное $N$ во второе уравнение; масса $m$ сокращается: $$a=g\,\frac{\mu\cos\alpha-\sin\alpha}{\cos\alpha+\mu\sin\alpha}.$$ Ни $M$, ни $F$ в формулу не вошли — они нужны лишь для того, чтобы такое движение вообще было возможно.
Шаг 5 — числа. $\cos30^\circ\approx0{,}866$, $\sin30^\circ=0{,}5$, $\mu=0{,}6$, $g=10\ \text{м/с}^2$. Числитель: $0{,}6\cdot0{,}866-0{,}5=0{,}5196-0{,}5=0{,}0196$. Знаменатель: $0{,}866+0{,}6\cdot0{,}5=0{,}866+0{,}3=1{,}166$. Тогда $$a=10\cdot\frac{0{,}0196}{1{,}166}\approx0{,}17\ \text{м/с}^2.$$
Проверим себя на смысл. Здесь $\mu=0{,}6$ больше, чем $\mathrm{tg}\,30^\circ\approx0{,}58$: на неподвижном клине брусок вообще не поехал бы, трения хватило бы с запасом. Запас крохотный, поэтому и «выталкивать» брусок вниз нужно совсем слабым ускорением — отсюда такое маленькое значение $a$. Знак получился положительный: клин ускоряется в ту же сторону, куда тянет сила $\vec F$, — всё сходится.