Задание 26 ЕГЭ по физике: Под действием постоянной горизонтальной силы стремится к F клин…

Разберёмся в сюжете. По гладкому столу горизонтальной силой \vec F разгоняют клин массой M=1 кг. Его наклонная грань поднимается вправо под углом \alpha=30^\circ к горизонту, и на этой грани лежит брусок массой m=0{,}2 кг. Грань шероховатая, коэффициент трения \mu=0{,}6. Сказано, что брусок скользит вниз по грани равномерно относительно клина. Именно эта фраза — ключ ко всей задаче: относительная скорость постоянна, значит относительное ускорение равно нулю, и брусок в лабораторной системе движется с тем же ускорением, что и клин.

Обоснуем модель. Систему отсчёта берём связанной со столом (с Землёй) — она инерциальная, в ней и записываем второй закон Ньютона; сам клин движется с ускорением, поэтому связанная с ним система неинерциальна, и в ней пришлось бы вводить силу инерции. Брусок «скользит по клину», размерами его пренебрегаем и считаем материальной точкой, движущейся поступательно, — поэтому достаточно уравнений в проекциях, без правила моментов. Раз брусок движется относительно клина равномерно, его ускорение относительно клина равно нулю, а значит, ускорение бруска относительно стола совпадает с ускорением клина и по модулю, и по направлению: оно горизонтально и равно искомому a. Брусок реально скользит по грани, поэтому трение — трение скольжения, для него верен закон F_{\text{тр}}=\mu N, и направлено оно против относительного движения бруска, то есть вверх вдоль наклонной грани. Сопротивления воздуха нет.

Шаг 1 — какие силы действуют на брусок. Их три: тяжесть mg вниз, нормальная реакция грани N перпендикулярно грани и сила трения \mu N вдоль грани, направленная вверх по склону (брусок относительно клина съезжает вниз, значит трение тормозит его вверх). Оси удобно взять обычные: x — горизонтально, в сторону силы \vec F (вправо), y — вертикально вверх. Именно эти три стрелки и рисуем.

Шаг 2 — проекции сил. Грань поднимается вправо под углом \alpha, поэтому нормаль к ней наклонена влево от вертикали на тот же угол \alpha: её проекции равны (-N\sin\alpha;\ N\cos\alpha). Трение направлено вверх вдоль грани, то есть вправо-вверх: (\mu N\cos\alpha;\ \mu N\sin\alpha).

Шаг 3 — второй закон Ньютона для бруска. По вертикали ускорения нет (брусок движется горизонтально, вместе с клином): N\cos\alpha+\mu N\sin\alpha-mg=0\quad\Rightarrow\quad N=\frac{mg}{\cos\alpha+\mu\sin\alpha}. По горизонтали ускорение равно a: -N\sin\alpha+\mu N\cos\alpha=ma.

Шаг 4 — выражаем ускорение. Подставляем найденное N во второе уравнение; масса m сокращается: a=g\,\frac{\mu\cos\alpha-\sin\alpha}{\cos\alpha+\mu\sin\alpha}. Ни M, ни F в формулу не вошли — они нужны лишь для того, чтобы такое движение вообще было возможно.

Шаг 5 — числа. \cos30^\circ\approx0{,}866, \sin30^\circ=0{,}5, \mu=0{,}6, g=10\ \text{м/с}^2. Числитель: 0{,}6\cdot0{,}866-0{,}5=0{,}5196-0{,}5=0{,}0196. Знаменатель: 0{,}866+0{,}6\cdot0{,}5=0{,}866+0{,}3=1{,}166. Тогда a=10\cdot\frac{0{,}0196}{1{,}166}\approx0{,}17\ \text{м/с}^2.

Проверим себя на смысл. Здесь \mu=0{,}6 больше, чем \mathrm{tg}\,30^\circ\approx0{,}58: на неподвижном клине брусок вообще не поехал бы, трения хватило бы с запасом. Запас крохотный, поэтому и «выталкивать» брусок вниз нужно совсем слабым ускорением — отсюда такое маленькое значение a. Знак получился положительный: клин ускоряется в ту же сторону, куда тянет сила \vec F, — всё сходится.