ID: 00041304
Трудолюбивый Вася собрал в лесу 5 кг ягод. Вася хорошо знал физику, поэтому он нашёл палку длиной 1,2 м и решил понести корзину с ягодами так, как показано на рисунке. К концу $B$ палки в начале пути Вася прикладывал постоянную вертикальную силу, равную 25 Н. Из приведённого ниже списка выберите все верные утверждения, описывающие эту ситуацию. Массой палки пренебречь.
1. Длина короткого конца палки (относительно точки $O$) составляет 40 см.
2. Момент силы, действующей на конец палки $A$, относительно точки $O$ равен 25 Н·м.
3. Плечо вертикальной силы, прикладываемой Васей к концу $B$ палки, в два раза больше плеча силы, действующей на конец $A$.
4. Момент вертикальной силы, действующей на конец $B$ палки, относительно точки $O$ равен 2 Н·м.
5. Если Вася устанет и будет прикладывать к концу $B$ палки силу на 10 Н меньшую, чем прикладывал в начале пути, то ему нужно будет съесть 3 кг собранных ягод, чтобы палка осталась в равновесии (при неизменных прочих условиях).
1. Верно
Чтобы рычаг (палка) достиг равновесия, моменты сил, действующих на него справа и слева, должны быть равны: $M_1 = M_2$. В то же время моменты сил $M_1$ и $M_2$ по определению равны произведению силы на её плечо:
$M_1 = F_1 l_1$
$M_2 = F_2 l_2$
На конец $A$ палки действует вес корзины с ягодами, равный по модулю силе тяжести $\Rightarrow F_1 = mg$.
На конец $B$ действует вертикальная сила, которую прикладывает Вася $\Rightarrow F_2 = F$.
По рисунку видно, что плечом силы тяжести относительно точки $O$ является отрезок $AO$, а плечом силы $F$ относительно той же точки — отрезок $OB$, причём $OB = AB - AO$.
Таким образом:
$M_1 = mg \cdot AO$
$M_2 = F \cdot OB$
Приравнивая, получаем:
$mg \cdot AO = F \cdot OB$
$mg \cdot AO = F \cdot (AB - AO)$
$AO = \dfrac{F \cdot AB}{F + mg}$
$AO = \dfrac{25\ Н \cdot 1{,}2\ м}{25\ Н + 5\ кг \cdot 10\ \dfrac{м}{с^2}} = 0{,}4$ м
Тогда конец $OB$ равен:
$OB = AB - AO$
$OB = 1{,}2\ м - 0{,}4\ м = 0{,}8$ м
Таким образом, длина короткого конца палки действительно составляет 0,4 м = 40 см.
2. Неверно
Момент силы, действующей на конец палки $A$, относительно точки $O$ равен:
$M = mg \cdot AO$
$M = 5\ кг \cdot 10\ \dfrac{м}{с^2} \cdot 0{,}4\ м = 20$ Н·м
3. Верно
Найдём отношение плеч:
$\dfrac{OB}{AO} = \dfrac{AB - AO}{AO} = \dfrac{1{,}2\ м - 0{,}4\ м}{0{,}4\ м} = 2$
4. Неверно
Момент вертикальной силы, действующей на конец $B$ палки, относительно точки $O$ равен:
$M = F \cdot OB$
$M = 25\ Н \cdot 0{,}8\ м = 20$ Н·м
5. Неверно
Запишем условие равновесия рычага (палки) для двух случаев — до того, как Вася устал, и после:
$F \cdot OB = mg \cdot AO$
$F' \cdot OB = m'g \cdot AO$
Поделим первое выражение на второе и выразим массу $m'$ с учётом того, что $F' = F - 10$ Н:
$\dfrac{F \cdot OB}{F' \cdot OB} = \dfrac{mg \cdot AO}{m'g \cdot AO}$
$m' = \dfrac{mF'}{F} = \dfrac{m(F - 10\ Н)}{F}$
$m' = \dfrac{5\ кг \cdot (25\ Н - 10\ Н)}{25\ Н} = 3$ кг
Таким образом, Васе нужно съесть $\Delta m = m - m' = 5\ кг - 3\ кг = 2$ кг ягод.
Ответ: 13