ID: 00041261
Трудолюбивый Артём собрал в лесу $5$ кг ягод. Артём хорошо знал физику, поэтому он нашёл палку длиной $1{,}2$ м и решил понести корзину с ягодами так, как показано на рисунке. К концу $B$ палки в начале пути Артём прикладывал постоянную вертикальную силу, равную $25$ Н.
Из приведённого ниже списка выберите все верные утверждения, описывающие эту ситуацию. Массой палки пренебречь.
1. Длина длинного конца палки (относительно точки $O$) составляет $80$ см.
2. Момент силы, действующей на конец палки $A$, относительно точки $O$ равен $25$ Н · м.
3. Плечо вертикальной силы, прикладываемой Артёмом к концу $B$ палки, в три раза больше плеча силы, действующей на конец $A$.
4. Момент вертикальной силы, действующей на конец $B$ палки, относительно точки $O$ по модулю равен $20$ Н · м.
5. Если Артём устанет и будет прикладывать к концу $B$ палки силу на $10$ Н меньшую, чем прикладывал в начале пути, то ему нужно будет съесть $2$ кг собранных ягод, чтобы палка осталась в равновесии (при неизменных прочих условиях).
1. Верно
Чтобы рычаг (палка) достиг равновесия, моменты сил, действующих на него справа и слева, должны быть равны: $M_1 = M_2$. В то же время моменты сил $M_1$ и $M_2$ по определению равны произведению силы на её плечо:
$M_1 = F_1 l_1$
$M_2 = F_2 l_2$
На конец $A$ палки действует сила, равная весу корзины с ягодами $\Rightarrow F_1 = mg$.
На конец $B$ действует вертикальная сила, которую прикладывает Артём $\Rightarrow F_2 = F$.
По рисунку видно, что плечом силы тяжести относительно точки $O$ является отрезок $AO$, а плечом силы $F$ относительно той же точки — отрезок $OB$, причём $OB = AB - AO$.
Таким образом:
$M_1 = mg \cdot AO$
$M_2 = F \cdot OB$
Приравнивая, получаем:
$mg \cdot AO = F \cdot OB$
$mg \cdot AO = F \cdot (AB - AO)$
$AO = \dfrac{F \cdot AB}{F + mg}$
Тогда отрезок $OB$ равен:
$OB = AB - AO$
$OB = 1{,}2\ м - 0{,}4\ м = 0{,}8$ м
Таким образом, длина длинного конца палки действительно составляет $0{,}8$ м $= 80$ см.
2. Неверно
Момент силы, действующей на конец палки $A$, относительно точки $O$ равен:
$M = mg \cdot AO$
$M = 5\ кг \cdot 10\ \dfrac{м}{с^2} \cdot 0{,}4\ м = 20$ Н · м
3. Неверно
Найдём отношение плеч:
$\dfrac{OB}{AO} = \dfrac{AB - AO}{AO} = \dfrac{1{,}2\ м - 0{,}4\ м}{0{,}4\ м} = 2$
4. Верно
Момент вертикальной силы, действующей на конец $B$ палки, относительно точки $O$ равен по модулю:
$|M| = F \cdot OB$
$|M| = 25\ Н \cdot 0{,}8\ м = 20$ Н · м
Этот момент вращает палку в сторону, противоположную моменту силы на конце $A$, поэтому при выборе знаков он записывается со знаком минус, но по модулю равен $20$ Н · м.
5. Верно
Запишем условие равновесия рычага (палки) для двух случаев — до того, как Артём устал, и после:
$F \cdot OB = mg \cdot AO$
$F' \cdot OB = m'g \cdot AO$
Поделим первое выражение на второе и выразим массу $m'$ с учётом того, что $F' = F - 10$ Н:
$\dfrac{F \cdot OB}{F' \cdot OB} = \dfrac{mg \cdot AO}{m'g \cdot AO}$
$m' = \dfrac{mF'}{F} = \dfrac{m(F - 10\ Н)}{F}$
$m' = \dfrac{5\ кг \cdot (25\ Н - 10\ Н)}{25\ Н} = 3$ кг
Таким образом, Артёму нужно съесть $\Delta m = m - m' = 5\ кг - 3\ кг = 2$ кг ягод.
Ответ: 145