ID: 00026366
Гладкий цилиндр лежит между двумя плоскостями, одна из которых вертикальна, а линия их пересечения горизонтальна (см. рисунок). Сила давления цилиндра на вертикальную стенку в $n=\sqrt{3}$ раза превышает силу тяжести, действующую на шар. Найдите угол α между плоскостями. Сделайте рисунок, на котором укажите силы, действующие на цилиндр.
Какие законы вы используете для решения этой задачи? Обоснуйте их применение в этой задаче.
Источник: ФИПИ
Разберём рисунок. Слева — вертикальная плоскость (стенка), справа снизу к ней подходит вторая плоскость, наклонённая к стенке на угол $\alpha$; линия их пересечения горизонтальна. Получается «желобок», и в нём лежит гладкий цилиндр, касаясь и стенки, и наклонной плоскости. Требуется найти угол $\alpha$, зная, что цилиндр давит на вертикальную стенку с силой в $n=\sqrt{3}$ раз большей, чем его сила тяжести.
Какие силы действуют на цилиндр и почему их направления известны заранее. Цилиндр гладкий, трения нет, поэтому реакция каждой поверхности перпендикулярна этой поверхности. Реакция вертикальной стенки $\vec N_1$ горизонтальна и направлена от стенки. Реакция наклонной плоскости $\vec N_2$ перпендикулярна ей; раз сама плоскость отклонена от вертикали на угол $\alpha$, то её нормаль отклонена от горизонтали на тот же угол $\alpha$. Значит, у $\vec N_2$ вертикальная составляющая $N_2\sin\alpha$ (вверх) и горизонтальная $N_2\cos\alpha$ (в сторону стенки). Третья сила — тяжесть $mg$ вниз. Цилиндр покоится, поэтому применимо условие равновесия: сумма сил равна нулю. Моменты писать не нужно — все три силы проходят через ось цилиндра.
Ещё одно замечание: по третьему закону Ньютона цилиндр давит на стенку ровно с такой же по модулю силой, с какой стенка давит на него. Поэтому «сила давления на стенку» — это и есть $N_1$.
Шаг 1 — проекция на вертикаль. Держит цилиндр только наклонная плоскость (у горизонтальной $\vec N_1$ вертикальной части нет): $N_2\sin\alpha=mg$, откуда $N_2=\dfrac{mg}{\sin\alpha}$.
Шаг 2 — проекция на горизонталь: $N_1=N_2\cos\alpha$.
Шаг 3 — подставляем: $N_1=\dfrac{mg\cos\alpha}{\sin\alpha}=\dfrac{mg}{\mathrm{tg}\,\alpha}$.
Шаг 4 — используем условие задачи $N_1=n\,mg$: $\dfrac{mg}{\mathrm{tg}\,\alpha}=\sqrt{3}\,mg$. Масса и $g$ сокращаются: $\mathrm{tg}\,\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
Шаг 5 — отсюда $\alpha=30^\circ$.
Проверим формулу на крайних случаях. Если $\alpha=90^\circ$, вторая плоскость горизонтальна, цилиндр просто лежит на полу и стенку не трогает — и правда $N_1=\dfrac{mg}{\mathrm{tg}\,90^\circ}=0$. Если же угол мал, «желобок» становится узким и острым, цилиндр в нём расклинивается: $\mathrm{tg}\,\alpha\to 0$ и $N_1$ растёт неограниченно. Наши $30^\circ$ — довольно узкий желоб, поэтому давление на стенку и получилось больше веса.