Задание 22 ЕГЭ по физике: Гладкий цилиндр лежит между двумя плоскостями, одна из которых…

Разберём рисунок. Слева — вертикальная плоскость (стенка), справа снизу к ней подходит вторая плоскость, наклонённая к стенке на угол \alpha; линия их пересечения горизонтальна. Получается «желобок», и в нём лежит гладкий цилиндр, касаясь и стенки, и наклонной плоскости. Требуется найти угол \alpha, зная, что цилиндр давит на вертикальную стенку с силой в n=\sqrt{3} раз большей, чем его сила тяжести.

Какие силы действуют на цилиндр и почему их направления известны заранее. Цилиндр гладкий, трения нет, поэтому реакция каждой поверхности перпендикулярна этой поверхности. Реакция вертикальной стенки \vec N_1 горизонтальна и направлена от стенки. Реакция наклонной плоскости \vec N_2 перпендикулярна ей; раз сама плоскость отклонена от вертикали на угол \alpha, то её нормаль отклонена от горизонтали на тот же угол \alpha. Значит, у \vec N_2 вертикальная составляющая N_2\sin\alpha (вверх) и горизонтальная N_2\cos\alpha (в сторону стенки). Третья сила — тяжесть mg вниз. Цилиндр покоится, поэтому применимо условие равновесия: сумма сил равна нулю. Моменты писать не нужно — все три силы проходят через ось цилиндра.

Ещё одно замечание: по третьему закону Ньютона цилиндр давит на стенку ровно с такой же по модулю силой, с какой стенка давит на него. Поэтому «сила давления на стенку» — это и есть N_1.

Шаг 1 — проекция на вертикаль. Держит цилиндр только наклонная плоскость (у горизонтальной \vec N_1 вертикальной части нет): N_2\sin\alpha=mg, откуда N_2=\dfrac{mg}{\sin\alpha}.

Шаг 2 — проекция на горизонталь: N_1=N_2\cos\alpha.

Шаг 3 — подставляем: N_1=\dfrac{mg\cos\alpha}{\sin\alpha}=\dfrac{mg}{\mathrm{tg}\,\alpha}.

Шаг 4 — используем условие задачи N_1=n\,mg: \dfrac{mg}{\mathrm{tg}\,\alpha}=\sqrt{3}\,mg. Масса и g сокращаются: \mathrm{tg}\,\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{3}}.

Шаг 5 — отсюда \alpha=30^\circ.

Проверим формулу на крайних случаях. Если \alpha=90^\circ, вторая плоскость горизонтальна, цилиндр просто лежит на полу и стенку не трогает — и правда N_1=\dfrac{mg}{\mathrm{tg}\,90^\circ}=0. Если же угол мал, «желобок» становится узким и острым, цилиндр в нём расклинивается: \mathrm{tg}\,\alpha\to 0 и N_1 растёт неограниченно. Наши 30^\circ — довольно узкий желоб, поэтому давление на стенку и получилось больше веса.