ID: 00026385
К двум вертикально расположенным пружинам одинаковой длины подвесили однородный стержень массой M = 2 кг и длиной L = 40 см. Если к этому стержню подвесить груз на расстоянии d = 5 см от правой пружины, то стержень будет расположен горизонтально, а растяжения обеих пружин будут одинаковы (см. рисунок). Жёсткость левой пружины в 3 раза меньше, чем у правой. Чему равна масса m подвешенного груза? Сделайте рисунок с указанием сил, использованных в решении задачи.
Источник: ФИПИ
Разложим сюжет по полочкам. Стержень массой M=2 кг и длиной L=40 см висит на двух вертикальных пружинах, прикреплённых к его концам — это видно на рисунке. К стержню подвешивают груз массой m на расстоянии d=5 см от правой пружины, и после этого стержень висит строго горизонтально, причём обе пружины растянуты одинаково. Жёсткость левой пружины в 3 раза меньше правой. На рисунке к решению покажи четыре вертикальные силы: две силы упругости пружин вверх (на концах), силу тяжести стержня Mg в его середине и силу тяжести груза mg в точке подвеса.
Шаг 1 — что даёт «растяжения одинаковы». По закону Гука сила упругости равна F=kx. Растяжения одинаковы, x_1=x_2=x, поэтому силы отличаются ровно во столько раз, во сколько отличаются жёсткости. Пусть k_1 — жёсткость левой пружины, тогда правая имеет k_2=3k_1, и значит F_1=k_1x,\qquad F_2=3k_1x=3F_1. Правая пружина тянет втрое сильнее левой.
Шаг 2 — первое условие равновесия (сумма сил равна нулю). Вверх тянут пружины, вниз — веса стержня и груза: F_1+F_2=(M+m)g. Подставляем F_2=3F_1: 4F_1=(M+m)g, откуда F_1=\dfrac{(M+m)g}{4} и F_2=\dfrac{3(M+m)g}{4}.
Шаг 3 — второе условие равновесия (сумма моментов равна нулю). Возьмём ось на левом конце стержня — тогда сила F_1 моментов не создаёт и сама собой уйдёт из уравнения. Плечи считаем от левого конца: правая пружина — L, центр стержня (там приложена вся его сила тяжести, ведь стержень однородный) — \dfrac{L}{2}, груз — L-d. Момент силы — это произведение силы на плечо, и моменты, крутящие стержень в разные стороны, должны компенсироваться: F_2L=Mg\dfrac{L}{2}+mg(L-d).
Шаг 4 — соединяем и решаем. Подставим F_2 из шага 2 и сократим g: \dfrac{3(M+m)L}{4}=\dfrac{ML}{2}+m(L-d). Числа в метрах: L=0{,}4 м, d=0{,}05 м, L-d=0{,}35 м. Слева: 0{,}75\cdot 0{,}4\cdot(2+m)=0{,}3(2+m)=0{,}6+0{,}3m. Справа: \dfrac{2\cdot 0{,}4}{2}+0{,}35m=0{,}4+0{,}35m. Приравниваем: 0{,}6+0{,}3m=0{,}4+0{,}35m, значит 0{,}2=0{,}05m и m=4 кг.
Проверим себя. Общий вес системы (M+m)g=(2+4)\cdot 10=60 Н, тогда F_1=15 Н, F_2=45 Н. Момент правой пружины относительно левого конца: 45\cdot 0{,}4=18 Н\cdotм. Моменты весов: 20\cdot 0{,}2=4 и 40\cdot 0{,}35=14, вместе тоже 18 Н\cdotм. Сходится: груз тяжелее стержня и висит близко к правому концу — потому и правая пружина нагружена сильнее.
Почему модель именно такая. Стержень — твёрдое тело, которое покоится, поэтому применимы оба условия равновесия твёрдого тела в инерциальной системе отсчёта: равенство нулю суммы сил и равенство нулю суммы моментов относительно любой оси. Однородность стержня позволяет считать, что его сила тяжести приложена в центре масс — в геометрической середине. Закон Гука F=kx переводит условие «растяжения равны» в соотношение сил, а выбор оси на левом конце — просто удобный приём, который убирает из уравнения моментов одну неизвестную силу.