ID: 00026385
К двум вертикально расположенным пружинам одинаковой длины подвесили однородный стержень массой M = 2 кг и длиной L = 40 см. Если к этому стержню подвесить груз на расстоянии d = 5 см от правой пружины, то стержень будет расположен горизонтально, а растяжения обеих пружин будут одинаковы (см. рисунок). Жёсткость левой пружины в 3 раза меньше, чем у правой. Чему равна масса m подвешенного груза? Сделайте рисунок с указанием сил, использованных в решении задачи.
Укажите обоснование физических законов используемых в этой задаче.
Источник: ФИПИ
Разложим сюжет по полочкам. Стержень массой $M=2$ кг и длиной $L=40$ см висит на двух вертикальных пружинах, прикреплённых к его концам — это видно на рисунке. К стержню подвешивают груз массой $m$ на расстоянии $d=5$ см от правой пружины, и после этого стержень висит строго горизонтально, причём обе пружины растянуты одинаково. Жёсткость левой пружины в $3$ раза меньше правой. На рисунке к решению покажи четыре вертикальные силы: две силы упругости пружин вверх (на концах), силу тяжести стержня $Mg$ в его середине и силу тяжести груза $mg$ в точке подвеса.
Шаг 1 — что даёт «растяжения одинаковы». По закону Гука сила упругости равна $F=kx$. Растяжения одинаковы, $x_1=x_2=x$, поэтому силы отличаются ровно во столько раз, во сколько отличаются жёсткости. Пусть $k_1$ — жёсткость левой пружины, тогда правая имеет $k_2=3k_1$, и значит $$F_1=k_1x,\qquad F_2=3k_1x=3F_1.$$ Правая пружина тянет втрое сильнее левой.
Шаг 2 — первое условие равновесия (сумма сил равна нулю). Вверх тянут пружины, вниз — веса стержня и груза: $F_1+F_2=(M+m)g$. Подставляем $F_2=3F_1$: $4F_1=(M+m)g$, откуда $F_1=\dfrac{(M+m)g}{4}$ и $F_2=\dfrac{3(M+m)g}{4}$.
Шаг 3 — второе условие равновесия (сумма моментов равна нулю). Возьмём ось на левом конце стержня — тогда сила $F_1$ моментов не создаёт и сама собой уйдёт из уравнения. Плечи считаем от левого конца: правая пружина — $L$, центр стержня (там приложена вся его сила тяжести, ведь стержень однородный) — $\dfrac{L}{2}$, груз — $L-d$. Момент силы — это произведение силы на плечо, и моменты, крутящие стержень в разные стороны, должны компенсироваться: $$F_2L=Mg\dfrac{L}{2}+mg(L-d).$$
Шаг 4 — соединяем и решаем. Подставим $F_2$ из шага 2 и сократим $g$: $$\dfrac{3(M+m)L}{4}=\dfrac{ML}{2}+m(L-d).$$ Числа в метрах: $L=0{,}4$ м, $d=0{,}05$ м, $L-d=0{,}35$ м. Слева: $0{,}75\cdot 0{,}4\cdot(2+m)=0{,}3(2+m)=0{,}6+0{,}3m$. Справа: $\dfrac{2\cdot 0{,}4}{2}+0{,}35m=0{,}4+0{,}35m$. Приравниваем: $0{,}6+0{,}3m=0{,}4+0{,}35m$, значит $0{,}2=0{,}05m$ и $m=4$ кг.
Проверим себя. Общий вес системы $(M+m)g=(2+4)\cdot 10=60$ Н, тогда $F_1=15$ Н, $F_2=45$ Н. Момент правой пружины относительно левого конца: $45\cdot 0{,}4=18$ Н$\cdot$м. Моменты весов: $20\cdot 0{,}2=4$ и $40\cdot 0{,}35=14$, вместе тоже $18$ Н$\cdot$м. Сходится: груз тяжелее стержня и висит близко к правому концу — потому и правая пружина нагружена сильнее.
Почему модель именно такая. Стержень — твёрдое тело, которое покоится, поэтому применимы оба условия равновесия твёрдого тела в инерциальной системе отсчёта: равенство нулю суммы сил и равенство нулю суммы моментов относительно любой оси. Однородность стержня позволяет считать, что его сила тяжести приложена в центре масс — в геометрической середине. Закон Гука $F=kx$ переводит условие «растяжения равны» в соотношение сил, а выбор оси на левом конце — просто удобный приём, который убирает из уравнения моментов одну неизвестную силу.