ID: 00026640
Однородный тонкий стержень массой m=1 кг одним концом шарнирно прикреплён к потолку, а другим концом опирается на массивную горизонтальную доску, образуя с ней угол \alpha=30^{\circ}. Под действием горизонтальной силы \overset{\to}{F} доска движется поступательно влево с постоянной скоростью (см. рисунок). Стержень при этом неподвижен. Найдите F , если коэффициент трения стержня по доске \mathrm{\mu}=0,2. Трением доски по опоре и трением в шарнире пренебречь.
Источник: ФИПИ
Что происходит. Однородный тонкий стержень массой m=1 кг верхним концом закреплён в шарнире на потолке, а нижним опирается на тяжёлую доску, лежащую на полу, и составляет с ней угол \alpha=30^\circ. Доску горизонтальной силой \vec F тянут влево, и она едет равномерно. Стержень при этом стоит неподвижно, а его нижний конец скользит по доске. Коэффициент трения между стержнем и доской \mu=0{,}2; трение доски о пол не учитываем.
Обоснование модели. Систему отсчёта берём связанной с полом (с Землёй) — инерциальную. Стержень однороден и тонок, значит сила тяжести приложена в его середине; стержень — твёрдое тело в равновесии, поэтому для него пишем правило моментов относительно шарнира (в самом шарнире действует неизвестная реакция, и выбор оси в шарнире от неё избавляет). Доска движется поступательно и равномерно, поэтому равнодействующая всех сил на неё равна нулю — это второй закон Ньютона при нулевом ускорении. Между нижним концом стержня и доской есть проскальзывание, значит там действует сила трения скольжения F_{\text{тр}}=\mu N, направленная на стержень в сторону движения доски (влево), а на доску — в противоположную сторону (вправо) по третьему закону Ньютона. Поверхность доски горизонтальна и гладкая только в смысле «трения доски о пол нет», поэтому нормальная реакция доски на стержень вертикальна.
Шаг 1 — силы на стержень. На стержень действуют: сила тяжести mg в середине; со стороны доски — нормальная реакция N (вертикально вверх) и сила трения \mu N (горизонтально, в сторону движения доски, то есть влево); в шарнире — реакция потолка (её мы исключим выбором оси).
Шаг 2 — правило моментов относительно шарнира. Пусть L — длина стержня. Нижний конец удалён от шарнира по горизонтали на L\cos\alpha, по вертикали на L\sin\alpha; середина стержня — вдвое ближе. Плечо вертикальной силы тяжести равно \dfrac{L}{2}\cos\alpha, плечо вертикальной реакции N равно L\cos\alpha, плечо горизонтальной силы трения равно L\sin\alpha. Сила тяжести и сила трения крутят стержень в одну сторону, нормальная реакция — в другую: mg\cdot\frac{L}{2}\cos\alpha=N\cdot L\cos\alpha+\mu N\cdot L\sin\alpha.
Шаг 3 — выражаем N. Длина сокращается: N=\frac{mg\cos\alpha}{2(\cos\alpha+\mu\sin\alpha)}.
Шаг 4 — доска. Доска едет равномерно, ускорения нет. По горизонтали на неё действуют сила F (влево) и сила трения со стороны стержня, направленная вправо и равная по модулю \mu N (трения о пол нет): F=\mu N=\frac{\mu\,mg\cos\alpha}{2(\cos\alpha+\mu\sin\alpha)}.
Шаг 5 — числа. При \alpha=30^\circ: \cos\alpha=\dfrac{\sqrt3}{2}\approx 0{,}866, \sin\alpha=0{,}5. Знаменатель: 2(0{,}866+0{,}2\cdot 0{,}5)=2\cdot 0{,}966=1{,}932. Тогда N=\frac{1\cdot 10\cdot 0{,}866}{1{,}932}\approx 4{,}48\ \text{Н},\qquad F=\mu N\approx 0{,}2\cdot 4{,}48\approx 0{,}9\ \text{Н}.
Проверка на здравый смысл: если бы трения не было (\mu=0), доску можно было бы тянуть вообще без усилия — и формула даёт F=0. Чем больше \mu, тем сильнее приходится тянуть.