ID: 00026640
Однородный тонкий стержень массой $m=1$ кг одним концом шарнирно прикреплён к потолку, а другим концом опирается на массивную горизонтальную доску, образуя с ней угол $\alpha=30^{\circ}.$ Под действием горизонтальной силы $\overset{\to}{F}$ доска движется поступательно влево с постоянной скоростью (см. рисунок). Стержень при этом неподвижен. Найдите F , если коэффициент трения стержня по доске $\mathrm{\mu}=0,2.$ Трением доски по опоре и трением в шарнире пренебречь.
Источник: ФИПИ
Что происходит. Однородный тонкий стержень массой $m=1$ кг верхним концом закреплён в шарнире на потолке, а нижним опирается на тяжёлую доску, лежащую на полу, и составляет с ней угол $\alpha=30^\circ$. Доску горизонтальной силой $\vec F$ тянут влево, и она едет равномерно. Стержень при этом стоит неподвижно, а его нижний конец скользит по доске. Коэффициент трения между стержнем и доской $\mu=0{,}2$; трение доски о пол не учитываем.
Обоснование модели. Систему отсчёта берём связанной с полом (с Землёй) — инерциальную. Стержень однороден и тонок, значит сила тяжести приложена в его середине; стержень — твёрдое тело в равновесии, поэтому для него пишем правило моментов относительно шарнира (в самом шарнире действует неизвестная реакция, и выбор оси в шарнире от неё избавляет). Доска движется поступательно и равномерно, поэтому равнодействующая всех сил на неё равна нулю — это второй закон Ньютона при нулевом ускорении. Между нижним концом стержня и доской есть проскальзывание, значит там действует сила трения скольжения $F_{\text{тр}}=\mu N$, направленная на стержень в сторону движения доски (влево), а на доску — в противоположную сторону (вправо) по третьему закону Ньютона. Поверхность доски горизонтальна и гладкая только в смысле «трения доски о пол нет», поэтому нормальная реакция доски на стержень вертикальна.
Шаг 1 — силы на стержень. На стержень действуют: сила тяжести $mg$ в середине; со стороны доски — нормальная реакция $N$ (вертикально вверх) и сила трения $\mu N$ (горизонтально, в сторону движения доски, то есть влево); в шарнире — реакция потолка (её мы исключим выбором оси).
Шаг 2 — правило моментов относительно шарнира. Пусть $L$ — длина стержня. Нижний конец удалён от шарнира по горизонтали на $L\cos\alpha$, по вертикали на $L\sin\alpha$; середина стержня — вдвое ближе. Плечо вертикальной силы тяжести равно $\dfrac{L}{2}\cos\alpha$, плечо вертикальной реакции $N$ равно $L\cos\alpha$, плечо горизонтальной силы трения равно $L\sin\alpha$. Сила тяжести и сила трения крутят стержень в одну сторону, нормальная реакция — в другую: $$mg\cdot\frac{L}{2}\cos\alpha=N\cdot L\cos\alpha+\mu N\cdot L\sin\alpha.$$
Шаг 3 — выражаем $N$. Длина сокращается: $$N=\frac{mg\cos\alpha}{2(\cos\alpha+\mu\sin\alpha)}.$$
Шаг 4 — доска. Доска едет равномерно, ускорения нет. По горизонтали на неё действуют сила $F$ (влево) и сила трения со стороны стержня, направленная вправо и равная по модулю $\mu N$ (трения о пол нет): $$F=\mu N=\frac{\mu\,mg\cos\alpha}{2(\cos\alpha+\mu\sin\alpha)}.$$
Шаг 5 — числа. При $\alpha=30^\circ$: $\cos\alpha=\dfrac{\sqrt3}{2}\approx 0{,}866$, $\sin\alpha=0{,}5$. Знаменатель: $2(0{,}866+0{,}2\cdot 0{,}5)=2\cdot 0{,}966=1{,}932$. Тогда $$N=\frac{1\cdot 10\cdot 0{,}866}{1{,}932}\approx 4{,}48\ \text{Н},\qquad F=\mu N\approx 0{,}2\cdot 4{,}48\approx 0{,}9\ \text{Н}.$$
Проверка на здравый смысл: если бы трения не было ($\mu=0$), доску можно было бы тянуть вообще без усилия — и формула даёт $F=0$. Чем больше $\mu$, тем сильнее приходится тянуть.