Статика — Задание 22 ЕГЭ по физике №00026344

Прочитаем рисунок. Ящик с гладким дном и гладкими вертикальными стенками. Внутрь наискось вставлен невесомый стержень длиной $L=3$ м: его верхний конец упирается в левую стенку, а нижний стоит в правом нижнем углу — то есть касается и дна, и правой стенки. Стержень наклонён так, что с вертикалью он составляет угол $\alpha=45^\circ$. На стержне на расстоянии $1$ м от левого (верхнего) конца на нити висит шар массой $3$ кг. Нужна сила, с которой правая стенка давит на нижний конец стержня.

Почему это задача на моменты сил. Стержень покоится, значит выполнены оба условия равновесия твёрдого тела: сумма сил равна нулю и сумма моментов сил относительно любой оси равна нулю. Одного равенства сил мало — неизвестных больше, поэтому и нужно уравнение моментов. А стенки и дно по условию гладкие, поэтому все реакции строго перпендикулярны поверхностям: от стенок — горизонтальные, от дна — вертикальная. Стержень невесомый, поэтому его собственная сила тяжести в уравнения не входит: единственная «нагрузка» — вес шара, приложенный через нить.

Шаг 1 — перечислим силы, действующие на стержень. На верхний конец левая стенка давит вправо силой $N_1$. На нижний конец правая стенка давит влево силой $N$ (её и ищем), а дно давит вверх силой $N_{\text{д}}$. В точке подвеса нить тянет стержень вниз силой, равной силе тяжести шара: $mg=3\cdot 10=30$ Н.

Шаг 2 — геометрия. Возьмём нижний конец за начало отсчёта. Верхний конец поднят над ним по вертикали на $L\cos\alpha=3\cos 45^\circ\approx 2{,}12$ м. Точка подвеса шара удалена от нижнего конца по стержню на $L-d=3-1=2$ м, а по горизонтали она отстоит от нижнего конца на $(L-d)\sin\alpha=2\sin 45^\circ\approx 1{,}41$ м.

Шаг 3 — уравнение моментов относительно нижнего конца. Ось выбрана удачно: обе силы, приложенные к нижнему концу ($N$ и $N_{\text{д}}$), проходят через ось и моментов не создают. Остаются две силы. Сила $N_1$ горизонтальна, её плечо — вертикальное расстояние до оси, то есть $L\cos\alpha$. Сила тяжести шара вертикальна, её плечо — горизонтальное расстояние, то есть $(L-d)\sin\alpha$. Они вращают стержень в противоположные стороны, поэтому $N_1\cdot L\cos\alpha=mg\cdot (L-d)\sin\alpha$.

Шаг 4 — находим $N_1$: $N_1=\dfrac{mg (L-d)\sin\alpha}{L\cos\alpha}=\dfrac{mg (L-d)}{L}\tan\alpha=\dfrac{30\cdot 2}{3}\cdot\tan 45^\circ=20\cdot 1=20$ Н.

Шаг 5 — переходим к искомой силе. По горизонтали на стержень действуют только две силы — реакции стенок, и они направлены навстречу друг другу. Из равенства нулю суммы горизонтальных проекций: $N=N_1=20$ Н.

Проверка: по вертикали дно держит весь вес шара, $N_{\text{д}}=30$ Н, и это не противоречит ничему — стержень невесом, а шар висит именно на нём.