ID: 00026344
Невесомый стержень длиной 3 м, находящийся в ящике с гладкими дном и стенками, составляет с вертикалью угол α = 45º (см. рисунок). К стержню на расстоянии 1 м от левого его конца подвешен на нити шар массой 3 кг. Каков модуль силы нормальной реакции \overset{\to}{N} правой стенки ящика, действующей на нижний конец стержня?
Источник: ФИПИ
Прочитаем рисунок. Ящик с гладким дном и гладкими вертикальными стенками. Внутрь наискось вставлен невесомый стержень длиной L=3 м: его верхний конец упирается в левую стенку, а нижний стоит в правом нижнем углу — то есть касается и дна, и правой стенки. Стержень наклонён так, что с вертикалью он составляет угол \alpha=45^\circ. На стержне на расстоянии 1 м от левого (верхнего) конца на нити висит шар массой 3 кг. Нужна сила, с которой правая стенка давит на нижний конец стержня.
Почему это задача на моменты сил. Стержень покоится, значит выполнены оба условия равновесия твёрдого тела: сумма сил равна нулю и сумма моментов сил относительно любой оси равна нулю. Одного равенства сил мало — неизвестных больше, поэтому и нужно уравнение моментов. А стенки и дно по условию гладкие, поэтому все реакции строго перпендикулярны поверхностям: от стенок — горизонтальные, от дна — вертикальная. Стержень невесомый, поэтому его собственная сила тяжести в уравнения не входит: единственная «нагрузка» — вес шара, приложенный через нить.
Шаг 1 — перечислим силы, действующие на стержень. На верхний конец левая стенка давит вправо силой N_1. На нижний конец правая стенка давит влево силой N (её и ищем), а дно давит вверх силой N_{\text{д}}. В точке подвеса нить тянет стержень вниз силой, равной силе тяжести шара: mg=3\cdot 10=30 Н.
Шаг 2 — геометрия. Возьмём нижний конец за начало отсчёта. Верхний конец поднят над ним по вертикали на L\cos\alpha=3\cos 45^\circ\approx 2{,}12 м. Точка подвеса шара удалена от нижнего конца по стержню на L-d=3-1=2 м, а по горизонтали она отстоит от нижнего конца на (L-d)\sin\alpha=2\sin 45^\circ\approx 1{,}41 м.
Шаг 3 — уравнение моментов относительно нижнего конца. Ось выбрана удачно: обе силы, приложенные к нижнему концу (N и N_{\text{д}}), проходят через ось и моментов не создают. Остаются две силы. Сила N_1 горизонтальна, её плечо — вертикальное расстояние до оси, то есть L\cos\alpha. Сила тяжести шара вертикальна, её плечо — горизонтальное расстояние, то есть (L-d)\sin\alpha. Они вращают стержень в противоположные стороны, поэтому N_1\cdot L\cos\alpha=mg\cdot (L-d)\sin\alpha.
Шаг 4 — находим N_1: N_1=\dfrac{mg (L-d)\sin\alpha}{L\cos\alpha}=\dfrac{mg (L-d)}{L}\tan\alpha=\dfrac{30\cdot 2}{3}\cdot\tan 45^\circ=20\cdot 1=20 Н.
Шаг 5 — переходим к искомой силе. По горизонтали на стержень действуют только две силы — реакции стенок, и они направлены навстречу друг другу. Из равенства нулю суммы горизонтальных проекций: N=N_1=20 Н.
Проверка: по вертикали дно держит весь вес шара, N_{\text{д}}=30 Н, и это не противоречит ничему — стержень невесом, а шар висит именно на нём.