ID: 00041267
На стержень длиной $l = 1$ м и массой $M = 2$ кг с разных сторон повесили грузы массами $m_1$ и $m_3$, а на расстоянии $l_1 + l_2 = 36$ см от груза $m_1$ повесили груз $m_2$ (см. рисунок). На каком расстоянии от груза $m_1$ следует установить опору, чтобы стержень оставался в равновесии, если $m_1 = 7{,}5$ кг, а $m_2 = m_3 = 0{,}5$ кг?
Дано:
$l = 1$ м
$M = 2$ кг
$m_1 = 7{,}5$ кг
$m_2 = 0{,}5$ кг
$m_3 = 0{,}5$ кг
$l_1 + l_2 = 0{,}36$ м
Найти:
$x$ — ?
Воспользуемся формулой для нахождения центра масс системы:
$x_{ц.м.} = \dfrac{\sum m_i \cdot x_i}{M_0},$
где $m_i$ — масса точки, $x_i$ — координата точки, $M_0$ — суммарная масса тела.
За начало отсчёта возьмём левый край стержня и найдём центр масс:
$x_{ц.м.} = \dfrac{m_1 \cdot 0 + m_2 \cdot (l_1 + l_2) + M \cdot \dfrac{l}{2} + m_3 \cdot l}{M + m_1 + m_2 + m_3}$
$x_{ц.м.} = \dfrac{m_2 \cdot (l_1 + l_2) + M \cdot \dfrac{l}{2} + m_3 \cdot l}{M + m_1 + m_2 + m_3}$
Подставим численные значения:
$x_{ц.м.} = \dfrac{0{,}5\ кг \cdot 0{,}36\ м + 2\ кг \cdot \dfrac{1}{2}\ м + 0{,}5\ кг \cdot 1\ м}{2\ кг + 7{,}5\ кг + 0{,}5\ кг + 0{,}5\ кг} = 0{,}16$ м
Чтобы система находилась в равновесии, опору нужно разместить под центром масс, т. е. в $16$ см от груза $m_1$.
Ответ:
$x_{ц.м.} = \dfrac{m_2 \cdot (l_1 + l_2) + M \cdot \dfrac{l}{2} + m_3 \cdot l}{M + m_1 + m_2 + m_3} = 0{,}16$ м
$x_{ц.м.} = \dfrac{m_2 \cdot (l_1 + l_2) + M \cdot \dfrac{l}{2} + m_3 \cdot l}{M + m_1 + m_2 + m_3} = 0{,}16$ м