ID: 00026351
Невесомый стержень длиной 3 м, находящийся в ящике с гладкими дном и стенками, составляет угол 45 ° с вертикалью (см. рисунок). К стержню на расстоянии 1 м от его правого конца подвешен на нити шар массой 3 кг. Каков модуль силы реакции опоры \overset{\to}{N} , действующей на стержень со стороны левой стенки ящика?
Источник: ФИПИ
Смотрим на рисунок. В ящике с гладким дном и гладкими стенками наискось стоит невесомый стержень длиной L=3 м. Верхний его конец прижат к левой стенке — именно там на рисунке нарисована искомая сила \vec N, направленная вправо. Нижний конец стержня стоит в правом нижнем углу ящика, на дне у правой стенки. С вертикалью стержень образует угол 45^\circ. Шар массой 3 кг подвешен на нити к стержню совсем близко к его нижнему, правому концу — на расстоянии 1 м от него.
Что за модель и почему она работает. Стержень покоится, поэтому для него верны оба условия равновесия твёрдого тела: векторная сумма сил равна нулю и алгебраическая сумма моментов сил относительно любой оси равна нулю. Поверхности гладкие, значит реакция дна строго вертикальна, а реакции стенок строго горизонтальны — трения, которое дало бы силы вдоль поверхностей, нет. Стержень невесом, поэтому единственная нагрузка — сила mg=3\cdot 10=30 Н, с которой нить с шаром тянет стержень вниз.
Шаг 1 — выбираем ось моментов. Возьмём её в нижнем конце стержня. Хитрость в том, что там приложены сразу две неизвестные силы — реакция дна и реакция правой стенки, — и обе проходят через ось, значит их моменты равны нулю и в уравнение они не войдут. В уравнении останутся только искомая N и сила тяжести шара.
Шаг 2 — считаем плечи. Сила \vec N горизонтальна и приложена к верхнему концу, который поднят над нижним на высоту L\cos 45^\circ=3\cdot 0{,}707\approx 2{,}12 м; для горизонтальной силы плечом служит именно это вертикальное расстояние. Сила тяжести шара вертикальна и приложена в точке, отстоящей от нижнего конца по стержню на d=1 м; её плечо — горизонтальный сдвиг этой точки, то есть d\sin 45^\circ=1\cdot 0{,}707\approx 0{,}71 м.
Шаг 3 — уравнение моментов: N\cdot L\cos 45^\circ=mg\cdot d\sin 45^\circ.
Шаг 4 — выражаем и считаем. Разделив обе части на \cos 45^\circ, получаем N=\dfrac{mg\,d}{L}\tan 45^\circ=\dfrac{30\cdot 1}{3}\cdot 1=10 Н.
Полезно оценить результат «на пальцах»: шар подвешен почти у самой опоры, у нижнего конца, поэтому опрокидывающий момент невелик, и стенке хватает всего 10 Н — треть веса шара. Если бы шар висел близко к верхнему концу, стенке пришлось бы давить куда сильнее.