ID: 00026358
Тонкий однородный стержень АВ шарнирно закреплён в точке А и удерживается горизонтальной нитью ВС (см. рисунок). Трение в шарнире пренебрежимо мало. Масса стержня m = 1 кг, угол его наклона к горизонту α = 45°. Найдите модуль силы $\overset{\to}{F}$, действующей на стержень со стороны шарнира. Сделайте рисунок, на котором укажите все силы, действующие на стержень.
Источник: ФИПИ
Прочитаем рисунок. К вертикальной стене внизу шарниром прикреплён конец $A$ стержня; сам стержень идёт вверх и вправо, его верхний конец $B$ оттянут горизонтальной нитью $BC$ к точке $C$ на той же стене. Угол между стержнем и горизонтом $\alpha=45^\circ$. Стержень однородный, поэтому его сила тяжести $mg=1\cdot 10=10$ Н приложена в середине.
Три силы и почему их именно три. На стержень действуют: сила тяжести в середине, сила натяжения нити $\vec T$ в точке $B$ (нить тянет $B$ горизонтально к стене, то есть влево) и сила $\vec F$ со стороны шарнира в точке $A$. Про силу шарнира заранее ничего не известно — ни модуль, ни направление, поэтому её удобно искать по составляющим. Стержень покоится, значит работают оба условия равновесия твёрдого тела: сумма сил равна нулю и сумма моментов равна нулю. Трения в шарнире нет, но это и не важно: шарнир всё равно даёт силу произвольного направления, а не только вдоль стержня.
Шаг 1 — уравнение моментов относительно шарнира $A$. Такой выбор оси убирает неизвестную силу шарнира: она приложена в самой оси. Пусть $L$ — длина стержня. Плечо горизонтальной силы $T$ — это высота точки $B$ над $A$, то есть $L\sin\alpha$. Плечо вертикальной силы тяжести — горизонтальное расстояние от $A$ до середины стержня, то есть $\dfrac{L}{2}\cos\alpha$. Получаем $T\, L\sin\alpha=mg\dfrac{L}{2}\cos\alpha$.
Шаг 2 — длина сокращается, выражаем натяжение: $T=\dfrac{mg}{2}\cdot\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\dfrac{mg}{2\,\mathrm{tg}\,\alpha}=\dfrac{10}{2\cdot 1}=5$ Н (при $\alpha=45^\circ$ тангенс равен единице).
Шаг 3 — составляющие силы шарнира. По горизонтали на стержень действуют только $T$ (влево) и горизонтальная часть силы шарнира: $F_x=T=5$ Н, направлена вправо. По вертикали — только сила тяжести (вниз) и вертикальная часть силы шарнира: $F_y=mg=10$ Н, направлена вверх.
Шаг 4 — модуль силы шарнира по теореме Пифагора: $F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}=\sqrt{5^2+10^2}=\sqrt{125}\approx 11{,}2$ Н.
Полезно заметить: сила шарнира вовсе не направлена вдоль стержня — она наклонена к горизонту под углом $\mathrm{arctg}\dfrac{10}{5}\approx 63^\circ$, тогда как стержень идёт под $45^\circ$. Это типично: «вдоль себя» силу передаёт только невесомый стержень с шарнирами на обоих концах, а у нас стержень тяжёлый.