ID: 00026358
Тонкий однородный стержень АВ шарнирно закреплён в точке А и удерживается горизонтальной нитью ВС (см. рисунок). Трение в шарнире пренебрежимо мало. Масса стержня m = 1 кг, угол его наклона к горизонту α = 45°. Найдите модуль силы \overset{\to}{F}, действующей на стержень со стороны шарнира. Сделайте рисунок, на котором укажите все силы, действующие на стержень.
Источник: ФИПИ
Прочитаем рисунок. К вертикальной стене внизу шарниром прикреплён конец A стержня; сам стержень идёт вверх и вправо, его верхний конец B оттянут горизонтальной нитью BC к точке C на той же стене. Угол между стержнем и горизонтом \alpha=45^\circ. Стержень однородный, поэтому его сила тяжести mg=1\cdot 10=10 Н приложена в середине.
Три силы и почему их именно три. На стержень действуют: сила тяжести в середине, сила натяжения нити \vec T в точке B (нить тянет B горизонтально к стене, то есть влево) и сила \vec F со стороны шарнира в точке A. Про силу шарнира заранее ничего не известно — ни модуль, ни направление, поэтому её удобно искать по составляющим. Стержень покоится, значит работают оба условия равновесия твёрдого тела: сумма сил равна нулю и сумма моментов равна нулю. Трения в шарнире нет, но это и не важно: шарнир всё равно даёт силу произвольного направления, а не только вдоль стержня.
Шаг 1 — уравнение моментов относительно шарнира A. Такой выбор оси убирает неизвестную силу шарнира: она приложена в самой оси. Пусть L — длина стержня. Плечо горизонтальной силы T — это высота точки B над A, то есть L\sin\alpha. Плечо вертикальной силы тяжести — горизонтальное расстояние от A до середины стержня, то есть \dfrac{L}{2}\cos\alpha. Получаем T\, L\sin\alpha=mg\dfrac{L}{2}\cos\alpha.
Шаг 2 — длина сокращается, выражаем натяжение: T=\dfrac{mg}{2}\cdot\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\dfrac{mg}{2\,\mathrm{tg}\,\alpha}=\dfrac{10}{2\cdot 1}=5 Н (при \alpha=45^\circ тангенс равен единице).
Шаг 3 — составляющие силы шарнира. По горизонтали на стержень действуют только T (влево) и горизонтальная часть силы шарнира: F_x=T=5 Н, направлена вправо. По вертикали — только сила тяжести (вниз) и вертикальная часть силы шарнира: F_y=mg=10 Н, направлена вверх.
Шаг 4 — модуль силы шарнира по теореме Пифагора: F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}=\sqrt{5^2+10^2}=\sqrt{125}\approx 11{,}2 Н.
Полезно заметить: сила шарнира вовсе не направлена вдоль стержня — она наклонена к горизонту под углом \mathrm{arctg}\dfrac{10}{5}\approx 63^\circ, тогда как стержень идёт под 45^\circ. Это типично: «вдоль себя» силу передаёт только невесомый стержень с шарнирами на обоих концах, а у нас стержень тяжёлый.