ID: 00026347
Груз массой $M=75$ кг медленно поднимают с помощью рычага, приложив вертикальную силу $\overset{\to}{F}$ (см. рисунок). Рычаг, сделанный из однородного стержня массой $m=10$ кг и длиной $L=4$ м, шарнирно закреплён. Определите модуль силы $\overset{\to}{F}$, если расстояние b от оси шарнира до точки подвеса груза равно 1,6 м. Считать, что трение в шарнире отсутствует.
Источник: ФИПИ
Прочитаем рисунок. Горизонтальный стержень-рычаг длиной $L=4$ м закреплён шарниром у левого края опоры. На расстоянии $b=1{,}6$ м от шарнира к рычагу подвешен груз массой $M=75$ кг, а к дальнему концу рычага (то есть на расстоянии $L=4$ м от шарнира) приложена вертикальная сила $\vec F$, направленная вверх. Сам рычаг не невесомый: это однородный стержень массой $m=10$ кг.
Почему это чистая статика. Груз поднимают медленно, то есть без разгона — на каждом шаге система практически покоится, и можно применять условия равновесия. Удобно взять уравнение моментов относительно оси шарнира: тогда неизвестная сила, с которой шарнир держит рычаг, проходит через ось и в уравнение вообще не входит. Это ключевой приём — одним уравнением сразу находим $F$. А ещё важно, что стержень однородный: его вес можно считать приложенным в центре, то есть на расстоянии $L/2$ от шарнира.
Шаг 1 — какие силы создают моменты относительно шарнира. Вниз тянут: сила тяжести груза $Mg$ на плече $b$ и сила тяжести самого стержня $mg$ на плече $\dfrac{L}{2}$. Вверх тянет сила $F$ на плече $L$. Все силы вертикальны, а рычаг горизонтален, поэтому плечи — просто расстояния вдоль стержня.
Шаг 2 — уравнение моментов: $F\cdot L=Mg\cdot b+mg\cdot\dfrac{L}{2}$.
Шаг 3 — считаем моменты сил, тянущих вниз: $Mg\, b=75\cdot 10\cdot 1{,}6=1200\ \text{Н}\cdot\text{м}$ и $mg\dfrac{L}{2}=10\cdot 10\cdot 2=200\ \text{Н}\cdot\text{м}$. Сумма: $1400\ \text{Н}\cdot\text{м}$.
Шаг 4 — находим силу: $F=\dfrac{1400}{L}=\dfrac{1400}{4}=350$ Н.
Оценим, разумно ли. Вес груза $750$ Н, а тянуть надо всего $350$ Н — рычаг действительно облегчает работу примерно вдвое с лишним, ведь точка приложения силы в $\dfrac{4}{1{,}6}=2{,}5$ раза дальше от шарнира, чем груз. Небольшая добавка сверх $\dfrac{750}{2{,}5}=300$ Н уходит на то, чтобы держать и сам тяжёлый стержень.