ID: 00026347
Груз массой M=75 кг медленно поднимают с помощью рычага, приложив вертикальную силу \overset{\to}{F} (см. рисунок). Рычаг, сделанный из однородного стержня массой m=10 кг и длиной L=4 м, шарнирно закреплён. Определите модуль силы \overset{\to}{F}, если расстояние b от оси шарнира до точки подвеса груза равно 1,6 м. Считать, что трение в шарнире отсутствует.
Источник: ФИПИ
Прочитаем рисунок. Горизонтальный стержень-рычаг длиной L=4 м закреплён шарниром у левого края опоры. На расстоянии b=1{,}6 м от шарнира к рычагу подвешен груз массой M=75 кг, а к дальнему концу рычага (то есть на расстоянии L=4 м от шарнира) приложена вертикальная сила \vec F, направленная вверх. Сам рычаг не невесомый: это однородный стержень массой m=10 кг.
Почему это чистая статика. Груз поднимают медленно, то есть без разгона — на каждом шаге система практически покоится, и можно применять условия равновесия. Удобно взять уравнение моментов относительно оси шарнира: тогда неизвестная сила, с которой шарнир держит рычаг, проходит через ось и в уравнение вообще не входит. Это ключевой приём — одним уравнением сразу находим F. А ещё важно, что стержень однородный: его вес можно считать приложенным в центре, то есть на расстоянии L/2 от шарнира.
Шаг 1 — какие силы создают моменты относительно шарнира. Вниз тянут: сила тяжести груза Mg на плече b и сила тяжести самого стержня mg на плече \dfrac{L}{2}. Вверх тянет сила F на плече L. Все силы вертикальны, а рычаг горизонтален, поэтому плечи — просто расстояния вдоль стержня.
Шаг 2 — уравнение моментов: F\cdot L=Mg\cdot b+mg\cdot\dfrac{L}{2}.
Шаг 3 — считаем моменты сил, тянущих вниз: Mg\, b=75\cdot 10\cdot 1{,}6=1200\ \text{Н}\cdot\text{м} и mg\dfrac{L}{2}=10\cdot 10\cdot 2=200\ \text{Н}\cdot\text{м}. Сумма: 1400\ \text{Н}\cdot\text{м}.
Шаг 4 — находим силу: F=\dfrac{1400}{L}=\dfrac{1400}{4}=350 Н.
Оценим, разумно ли. Вес груза 750 Н, а тянуть надо всего 350 Н — рычаг действительно облегчает работу примерно вдвое с лишним, ведь точка приложения силы в \dfrac{4}{1{,}6}=2{,}5 раза дальше от шарнира, чем груз. Небольшая добавка сверх \dfrac{750}{2{,}5}=300 Н уходит на то, чтобы держать и сам тяжёлый стержень.