Динамика — Задание 22 ЕГЭ по физике №00041194

Дано: $H = 3$ м, $L = 5$ м, $\mu = 0{,}6$, $g = 10$ м/с$^2$. Найти: $\dfrac{a_{вверх}}{a_{вниз}}$.

Сначала найдём синус и косинус угла наклона. Высота — противолежащий катет, длина плоскости — гипотенуза, основание находим по теореме Пифагора:

$\sin\alpha = \dfrac{H}{L} = \dfrac{3}{5}, \quad \cos\alpha = \dfrac{\sqrt{L^2 - H^2}}{L} = \dfrac{4}{5}$

Второй закон Ньютона для тела:

$m\vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_{тр} = m\vec{a}$

Движение вверх. Тело едет вверх, значит трение направлено вниз вдоль плоскости — туда же, куда скатывающая составляющая силы тяжести. Обе силы тормозят тело. Ось $x$ направим вдоль ускорения (вниз по склону):

$\begin{cases} x: ; mg\sin\alpha + F_{тр1} = ma_1 \ y: ; N = mg\cos\alpha \end{cases}$

Сила трения скольжения: $F_{тр1} = \mu N = \mu m g\cos\alpha$. Тогда:

$ma_1 = mg(\sin\alpha + \mu\cos\alpha) \quad \Rightarrow \quad a_1 = g(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)$

Движение вниз. Тело съезжает вниз, значит трение направлено вверх вдоль плоскости — против скатывающей составляющей:

$\begin{cases} x: ; mg\sin\alpha - F_{тр2} = ma_2 \ y: ; N = mg\cos\alpha \end{cases}$

Сила трения та же по модулю: $F_{тр2} = \mu m g\cos\alpha$. Тогда:

$ma_2 = mg(\sin\alpha - \mu\cos\alpha) \quad \Rightarrow \quad a_2 = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)$

Искомое отношение (масса и $g$ сокращаются):

$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{\sin\alpha + \mu\cos\alpha}{\sin\alpha - \mu\cos\alpha} = \dfrac{\dfrac{3}{5} + 0{,}6 \cdot \dfrac{4}{5}}{\dfrac{3}{5} - 0{,}6 \cdot \dfrac{4}{5}} = \dfrac{0{,}6 + 0{,}48}{0{,}6 - 0{,}48} = \dfrac{1{,}08}{0{,}12} = 9$

Ответ: $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{\sin\alpha + \mu\cos\alpha}{\sin\alpha - \mu\cos\alpha} = 9$