Динамика — Задание 22 ЕГЭ по физике №00041193

Дано: $\alpha_1 = 30°$, $\alpha_2 = 60°$, $\mu = 0{,}8$. Найти: $\Delta$.

На тело действуют сила тяжести $m\vec{g}$, реакция опоры $\vec{N}$ и сила трения $\vec{F}_{тр}$, направленная вверх вдоль наклонной плоскости.

Второй закон Ньютона:

$m\vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_{тр} = m\vec{a}$

Сначала выясним, при каком угле тело вообще остаётся в покое. Направим ось $x$ вдоль наклонной плоскости, ось $y$ — перпендикулярно ей, и положим $a = 0$:

$Ox: ; F_{тр} = mg\sin\alpha$

$Oy: ; N = mg\cos\alpha$

Сила трения покоя не может превысить максимума:

$F_{тр} \le \mu N$

Отсюда:

$mg\sin\alpha \le \mu mg\cos\alpha \quad \Rightarrow \quad \tan\alpha \le \mu$

То есть если $\tan\alpha \le \mu$, тело покоится, а если больше — скользит.

Считаем тангенсы:

$\tan 30° \approx 0{,}57$, $\quad \tan 60° \approx 1{,}73$

Первый случай ($\alpha_1 = 30°$): $0{,}57 < 0{,}8$, тело покоится. Значит здесь работает трение покоя, и оно равно скатывающей составляющей силы тяжести:

$F_{тр1} = mg\sin 30°$

Второй случай ($\alpha_2 = 60°$): $1{,}73 > 0{,}8$, тело скользит. Здесь работает трение скольжения, и оно считается через прижимающую силу:

$F_{тр2} = \mu N_2 = \mu mg\cos 60°$

Находим, на сколько процентов первая сила больше второй:

$\Delta = \dfrac{F_{тр1} - F_{тр2}}{F_{тр2}} \cdot 100 = \dfrac{mg\sin\alpha_1 - \mu mg\cos\alpha_2}{\mu mg\cos\alpha_2} \cdot 100$

Масса и $g$ сокращаются:

$\Delta = \dfrac{\sin\alpha_1 - \mu\cos\alpha_2}{\mu\cos\alpha_2} \cdot 100 = \dfrac{\sin 30° - 0{,}8 \cdot \cos 60°}{0{,}8 \cdot 0{,}5} \cdot 100 = \dfrac{0{,}5 - 0{,}4}{0{,}4} \cdot 100 = 25$ %

Сила трения в первом случае больше на 25 процентов.

Ответ: $\Delta = \dfrac{\sin\alpha_1 - \mu\cos\alpha_2}{\mu\cos\alpha_2} \cdot 100 = 25$ %