ID: 00041152
К одному концу резинового шнура прикрепили шарик массой 50 г, другой его конец закрепили на горизонтальной гладкой поверхности и привели шарик во вращение по поверхности с угловой скоростью 20 рад/с. Найдите удлинение шнура, если его жёсткость 100 Н/м, а первоначальная длина 40 см.
Дано:
$m = 0{,}05$ кг
$\omega = 20$ рад/с
$k = 100$ Н/м
$l_0 = 0{,}4$ м
Найти: $\Delta x$
1. На шарик действует сила упругости шнура (закон Гука):
$F_{\text{упр}} = k\Delta x$
2. Шарик движется по окружности радиусом $l_0 + \Delta x$ — шнур растянут, поэтому радиус больше первоначальной длины. Центростремительное ускорение шарика:
$a = \omega^2(l_0 + \Delta x)$
3. По второму закону Ньютона сила упругости сообщает шарику это ускорение:
$F_{\text{упр}} = ma ; \Rightarrow ; k\Delta x = m\omega^2(l_0 + \Delta x)$
4. Раскрываем скобки:
$k\Delta x = m\omega^2 l_0 + m\omega^2 \Delta x$
5. Собираем слагаемые с $\Delta x$ в одной части:
$k\Delta x - m\omega^2 \Delta x = m\omega^2 l_0$
$\Delta x(k - m\omega^2) = m\omega^2 l_0$
6. Выражаем и считаем:
$\Delta x = \dfrac{m\omega^2 l_0}{k - m\omega^2} = \dfrac{0{,}05 \cdot 20^2 \cdot 0{,}4}{100 - 0{,}05 \cdot 20^2} = \dfrac{8}{80} = 0{,}1$ м
Ответ: $\Delta x = 0{,}1$ м
Ответ: $\Delta x = 0{,}1$ м