Динамика — Задание 22 ЕГЭ по физике №00041154

Дано:

$v = 3{,}4 \cdot 10^3$ м/с

$R_0 = 3{,}4 \cdot 10^6$ м

$g_0 = 4$ м/с²

Найти: $h$

1. Спутник движется по круговой орбите, значит на него действует только сила гравитации, которая и обеспечивает центростремительное ускорение:

$\vec{F}_{\text{грав}} = m\vec{a}$

2. По закону всемирного тяготения:

$F_{\text{грав}} = \dfrac{GMm}{(R_0 + h)^2}$,

где $m$ — масса спутника, $M$ — масса планеты. Радиус орбиты равен $R_0 + h$ — расстояние отсчитывается от центра планеты.

3. Центростремительное ускорение при движении по окружности:

$a = \dfrac{v^2}{R_0 + h}$

4. Расписываем второй закон Ньютона:

$\dfrac{GMm}{(R_0 + h)^2} = \dfrac{mv^2}{R_0 + h}$

5. Сокращаем $m$ и $(R_0 + h) \neq 0$:

$\dfrac{GM}{R_0 + h} = v^2 ; \Rightarrow ; R_0 + h = \dfrac{GM}{v^2}$

6. Произведение $GM$ неизвестно, но его можно выразить через ускорение свободного падения на поверхности планеты:

$g_0 = \dfrac{GM}{R_0^2} ; \Rightarrow ; GM = g_0 R_0^2$

7. Подставляем и находим высоту:

$h = \dfrac{g_0 R_0^2}{v^2} - R_0 = \dfrac{4 \cdot (3{,}4 \cdot 10^6)^2}{(3{,}4 \cdot 10^3)^2} - 3{,}4 \cdot 10^6 = 4 \cdot 10^6 - 3{,}4 \cdot 10^6 = 6 \cdot 10^5 \text{ м} = 600$ км

Ответ: $h = 600$ км