Задание 22 ЕГЭ по физике: Полый конус с углом при вершине 2 α вращается с угловой…

Представь себе конический холм: вершина смотрит вверх, и по его внешнему боку лежит шайба. Весь конус крутится вокруг своей вертикальной оси с угловой скоростью \omega, а шайба крутится вместе с ним — то есть движется по горизонтальной окружности. Задача: как далеко от вершины (по образующей, это расстояние и есть L) шайба может лежать, чтобы её ещё держало трение.

Шаг 1 — геометрия, тут главная ловушка. Угол при вершине равен 2\alpha, значит образующая конуса отклонена от вертикальной оси на угол \alpha. Отсюда сразу два вывода. Во-первых, радиус окружности, по которой бежит шайба, равен r=L\sin\alpha. Во-вторых, склон наклонён к горизонту на угол 90^\circ-\alpha, а не на \alpha: чем «тоньше» конус, тем круче его бок. Внешняя нормаль к поверхности (по ней направлена реакция) отклонена от вертикали на 90^\circ-\alpha и смотрит вверх и наружу.

Шаг 2 — силы. На шайбу действуют три силы: сила тяжести mg вниз, нормальная реакция N вдоль внешней нормали и сила трения, лежащая в плоскости поверхности. Куда смотрит трение? Шайбу «сносит» наружу по склону — а наружу по внешнему конусу означает вниз. Плюс её и так тянет вниз по склону сила тяжести. Значит, трение направлено вдоль образующей вверх, к вершине. На рисунке к решению так и покажи: mg вниз, N по нормали, F_{тр} вверх по образующей, а вектор ускорения — горизонтально к оси вращения.

Шаг 3 — второй закон Ньютона в проекциях. Возьмём горизонтальную ось (наружу от оси вращения) и вертикальную. Ускорение шайбы — центростремительное, a=\omega^2r, направлено к оси, то есть его проекция на «наружу» равна -\omega^2 r. Нормаль даёт по горизонтали N\cos\alpha, по вертикали N\sin\alpha; трение, направленное вверх по образующей, даёт -F_{тр}\sin\alpha по горизонтали и +F_{тр}\cos\alpha по вертикали. Получаем систему: N\cos\alpha-F_{тр}\sin\alpha=-m\omega^2L\sin\alpha,\qquad N\sin\alpha+F_{тр}\cos\alpha-mg=0.

Шаг 4 — выражаем N и F_{тр}. Умножим первое уравнение на \cos\alpha, второе на \sin\alpha и сложим: получим N=m\sin\alpha\,(g-\omega^2L\cos\alpha). Умножим первое на -\sin\alpha, второе на \cos\alpha и сложим: F_{тр}=m(\omega^2L\sin^2\alpha+g\cos\alpha). Смотри, как это читается: трение должно и удерживать шайбу от скатывания (слагаемое mg\cos\alpha), и обеспечивать разворот скорости по окружности (слагаемое с \omega^2), поэтому с удалением от вершины требуемое трение растёт, а прижатие N, наоборот, падает.

Шаг 5 — условие «шайба не скользит». Сила трения покоя не может превысить \mu N: m(\omega^2L\sin^2\alpha+g\cos\alpha)\le\mu m\sin\alpha\,(g-\omega^2L\cos\alpha). Раскрываем и собираем всё с L влево: \omega^2L(\sin^2\alpha+\mu\sin\alpha\cos\alpha)\le g(\mu\sin\alpha-\cos\alpha). Отсюда максимальное расстояние: L_{max}=\dfrac{g(\mu\sin\alpha-\cos\alpha)}{\omega^2\sin\alpha\,(\sin\alpha+\mu\cos\alpha)}.

Проверка себя. Числитель положителен только при \mu\sin\alpha\gt\cos\alpha, то есть при \mu\,\mathrm{tg}\,\alpha\gt1. Это просто условие того, что шайба вообще способна лежать на таком склоне: наклон склона к горизонту равен 90^\circ-\alpha, а держаться она может, пока \mathrm{tg}(90^\circ-\alpha)\le\mu. Если конус слишком «острый», шайба съедет и без всякого вращения. Второй тест: подставь \alpha=90^\circ — конус выродится в горизонтальный диск, и формула даст L_{max}=\dfrac{\mu g}{\omega^2} — знакомый ответ для шайбы на вращающейся пластинке. Значит, формула честная.

Почему модель именно такая. Шайба «небольшая» — материальная точка. Мы работаем в инерциальной (лабораторной) системе отсчёта, поэтому никаких «центробежных сил» не вводим: есть только три реальные силы, а их сумма по второму закону Ньютона равна m\vec a, где \vec a — центростремительное ускорение равномерного движения по окружности, a=\omega^2r. Трение здесь — трение покоя (шайба неподвижна относительно конуса), и оно подчиняется закону сухого трения F_{тр}\le\mu N; предельное расстояние отвечает знаку равенства. Кстати, при найденном L реакция N гарантированно положительна, так что шайба действительно прижата к поверхности, а не отрывается от неё.