ID: 00026387
Полый конус с углом при вершине 2 α вращается с угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси, совпадающей с его осью симметрии. Вершина конуса обращена вверх. На внешней поверхности конуса находится небольшая шайба, коэффициент трения которой о поверхность конуса равен μ . При каком максимальном расстоянии L от вершины шайба будет неподвижна относительно конуса? Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на шайбу.
Источник: ФИПИ
Представь себе конический холм: вершина смотрит вверх, и по его внешнему боку лежит шайба. Весь конус крутится вокруг своей вертикальной оси с угловой скоростью $\omega$, а шайба крутится вместе с ним — то есть движется по горизонтальной окружности. Задача: как далеко от вершины (по образующей, это расстояние и есть $L$) шайба может лежать, чтобы её ещё держало трение.
Шаг 1 — геометрия, тут главная ловушка. Угол при вершине равен $2\alpha$, значит образующая конуса отклонена от вертикальной оси на угол $\alpha$. Отсюда сразу два вывода. Во-первых, радиус окружности, по которой бежит шайба, равен $r=L\sin\alpha$. Во-вторых, склон наклонён к горизонту на угол $90^\circ-\alpha$, а не на $\alpha$: чем «тоньше» конус, тем круче его бок. Внешняя нормаль к поверхности (по ней направлена реакция) отклонена от вертикали на $90^\circ-\alpha$ и смотрит вверх и наружу.
Шаг 2 — силы. На шайбу действуют три силы: сила тяжести $mg$ вниз, нормальная реакция $N$ вдоль внешней нормали и сила трения, лежащая в плоскости поверхности. Куда смотрит трение? Шайбу «сносит» наружу по склону — а наружу по внешнему конусу означает вниз. Плюс её и так тянет вниз по склону сила тяжести. Значит, трение направлено вдоль образующей вверх, к вершине. На рисунке к решению так и покажи: $mg$ вниз, $N$ по нормали, $F_{тр}$ вверх по образующей, а вектор ускорения — горизонтально к оси вращения.
Шаг 3 — второй закон Ньютона в проекциях. Возьмём горизонтальную ось (наружу от оси вращения) и вертикальную. Ускорение шайбы — центростремительное, $a=\omega^2r$, направлено к оси, то есть его проекция на «наружу» равна $-\omega^2 r$. Нормаль даёт по горизонтали $N\cos\alpha$, по вертикали $N\sin\alpha$; трение, направленное вверх по образующей, даёт $-F_{тр}\sin\alpha$ по горизонтали и $+F_{тр}\cos\alpha$ по вертикали. Получаем систему: $$N\cos\alpha-F_{тр}\sin\alpha=-m\omega^2L\sin\alpha,\qquad N\sin\alpha+F_{тр}\cos\alpha-mg=0.$$
Шаг 4 — выражаем $N$ и $F_{тр}$. Умножим первое уравнение на $\cos\alpha$, второе на $\sin\alpha$ и сложим: получим $N=m\sin\alpha\,(g-\omega^2L\cos\alpha)$. Умножим первое на $-\sin\alpha$, второе на $\cos\alpha$ и сложим: $F_{тр}=m(\omega^2L\sin^2\alpha+g\cos\alpha)$. Смотри, как это читается: трение должно и удерживать шайбу от скатывания (слагаемое $mg\cos\alpha$), и обеспечивать разворот скорости по окружности (слагаемое с $\omega^2$), поэтому с удалением от вершины требуемое трение растёт, а прижатие $N$, наоборот, падает.
Шаг 5 — условие «шайба не скользит». Сила трения покоя не может превысить $\mu N$: $$m(\omega^2L\sin^2\alpha+g\cos\alpha)\le\mu m\sin\alpha\,(g-\omega^2L\cos\alpha).$$ Раскрываем и собираем всё с $L$ влево: $\omega^2L(\sin^2\alpha+\mu\sin\alpha\cos\alpha)\le g(\mu\sin\alpha-\cos\alpha)$. Отсюда максимальное расстояние: $$L_{max}=\dfrac{g(\mu\sin\alpha-\cos\alpha)}{\omega^2\sin\alpha\,(\sin\alpha+\mu\cos\alpha)}.$$
Проверка себя. Числитель положителен только при $\mu\sin\alpha\gt\cos\alpha$, то есть при $\mu\,\mathrm{tg}\,\alpha\gt1$. Это просто условие того, что шайба вообще способна лежать на таком склоне: наклон склона к горизонту равен $90^\circ-\alpha$, а держаться она может, пока $\mathrm{tg}(90^\circ-\alpha)\le\mu$. Если конус слишком «острый», шайба съедет и без всякого вращения. Второй тест: подставь $\alpha=90^\circ$ — конус выродится в горизонтальный диск, и формула даст $L_{max}=\dfrac{\mu g}{\omega^2}$ — знакомый ответ для шайбы на вращающейся пластинке. Значит, формула честная.
Почему модель именно такая. Шайба «небольшая» — материальная точка. Мы работаем в инерциальной (лабораторной) системе отсчёта, поэтому никаких «центробежных сил» не вводим: есть только три реальные силы, а их сумма по второму закону Ньютона равна $m\vec a$, где $\vec a$ — центростремительное ускорение равномерного движения по окружности, $a=\omega^2r$. Трение здесь — трение покоя (шайба неподвижна относительно конуса), и оно подчиняется закону сухого трения $F_{тр}\le\mu N$; предельное расстояние отвечает знаку равенства. Кстати, при найденном $L$ реакция $N$ гарантированно положительна, так что шайба действительно прижата к поверхности, а не отрывается от неё.