Динамика — Задание 22 ЕГЭ по физике №00026386

Осмотрим установку. На шероховатой наклонной плоскости лежит груз $M=1$ кг, от него вверх по склону идёт нить, перекинутая через блок на вершине, а с другой стороны блока висит груз $m$. Блок невесомый и без трения, значит нить по обе стороны натянута одинаково — обозначим это натяжение $T$. Спрашивают минимальную массу $m$, при которой система ещё стоит. На рисунке к решению для груза $M$ покажи четыре силы: $Mg$ вниз, нормальную реакцию $N$ перпендикулярно плоскости, натяжение $T$ вверх по склону и силу трения; для груза $m$ — $mg$ вниз и $T$ вверх.

Шаг 1 — куда смотрит трение. Прикинем сначала, что было бы без груза: скатывающая сила $Mg\sin\alpha=10\cdot 0{,}5=5$ Н, а трение может дать максимум $\mu Mg\cos\alpha=0{,}3\cdot 10\cdot 0{,}866\approx 2{,}6$ Н. Трения не хватает, груз $M$ поехал бы вниз. Значит, груз $m$ нужен именно для того, чтобы держать $M$, и в самом «критическом» случае $M$ вот-вот сползёт вниз — а сила трения покоя при этом развёрнута против возможного скольжения, то есть ВВЕРХ по склону, и достигает максимума $\mu N$.

Шаг 2 — перпендикулярно плоскости. Груз не отрывается и не вдавливается, поэтому $N=Mg\cos\alpha=10\cdot\cos30^\circ\approx 8{,}66$ Н. Тогда максимальная сила трения покоя $F_{тр}=\mu N=0{,}3\cdot 8{,}66\approx 2{,}6$ Н.

Шаг 3 — вдоль плоскости для груза $M$. Система покоится, значит сумма сил равна нулю. Вниз по склону тянет $Mg\sin\alpha$, вверх — натяжение и трение: $$Mg\sin\alpha=T+\mu Mg\cos\alpha.$$ Отсюда $T=Mg\sin\alpha-\mu Mg\cos\alpha=5-2{,}6=2{,}4$ Н.

Шаг 4 — висящий груз. Для него тоже равновесие: нить тянет вверх, тяжесть вниз, $T=mg$. Значит $$m=\dfrac{T}{g}=\dfrac{M(\sin\alpha-\mu\cos\alpha)g}{g}=M(\sin\alpha-\mu\cos\alpha).$$ Считаем: $m=1\cdot(0{,}5-0{,}3\cdot 0{,}866)=0{,}5-0{,}26=0{,}24$ кг.

Проверка смысла ответа. Получилось $0{,}24$ кг — заметно меньше килограммовой $M$: часть скатывающей силы гасит трение, а подвесу остаётся только «добрать» недостающие $2{,}4$ Н. Если бы трение было сильнее, чем $\tan\alpha$ (то есть $\mu\gt 0{,}577$), груз стоял бы и сам, и минимальная масса оказалась бы нулевой.

Почему такая модель. Оба груза — материальные точки, поэтому достаточно второго закона Ньютона в форме «сумма сил равна нулю» для каждого тела отдельно (условие равновесия в инерциальной системе отсчёта). Нить лёгкая и нерастяжимая, а блок невесом и вращается без трения — именно поэтому натяжение по всей нити одно и то же и его можно обозначить одной буквой $T$. Для трения используем закон сухого трения: сила трения покоя не превышает $\mu N$, а «минимальная масса» — это как раз граничный случай, когда трение вышло на свой максимум и направлено вверх по склону.