ID: 00026386
Грузы массами M=1 кг и m связаны лёгкой нерастяжимой нитью, переброшенной через невесомый блок, вращающийся без трения (см. рисунок). Груз массой M покоится на шероховатой наклонной плоскости (угол наклона плоскости к горизонту \alpha=30^{\circ}, коэффициент трения \mathrm{\mu}=0,3 ). Чему равно минимальное значение массы m , при котором система грузов остаётся в состоянии покоя? Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на грузы.
Источник: ФИПИ
Осмотрим установку. На шероховатой наклонной плоскости лежит груз M=1 кг, от него вверх по склону идёт нить, перекинутая через блок на вершине, а с другой стороны блока висит груз m. Блок невесомый и без трения, значит нить по обе стороны натянута одинаково — обозначим это натяжение T. Спрашивают минимальную массу m, при которой система ещё стоит. На рисунке к решению для груза M покажи четыре силы: Mg вниз, нормальную реакцию N перпендикулярно плоскости, натяжение T вверх по склону и силу трения; для груза m — mg вниз и T вверх.
Шаг 1 — куда смотрит трение. Прикинем сначала, что было бы без груза: скатывающая сила Mg\sin\alpha=10\cdot 0{,}5=5 Н, а трение может дать максимум \mu Mg\cos\alpha=0{,}3\cdot 10\cdot 0{,}866\approx 2{,}6 Н. Трения не хватает, груз M поехал бы вниз. Значит, груз m нужен именно для того, чтобы держать M, и в самом «критическом» случае M вот-вот сползёт вниз — а сила трения покоя при этом развёрнута против возможного скольжения, то есть ВВЕРХ по склону, и достигает максимума \mu N.
Шаг 2 — перпендикулярно плоскости. Груз не отрывается и не вдавливается, поэтому N=Mg\cos\alpha=10\cdot\cos30^\circ\approx 8{,}66 Н. Тогда максимальная сила трения покоя F_{тр}=\mu N=0{,}3\cdot 8{,}66\approx 2{,}6 Н.
Шаг 3 — вдоль плоскости для груза M. Система покоится, значит сумма сил равна нулю. Вниз по склону тянет Mg\sin\alpha, вверх — натяжение и трение: Mg\sin\alpha=T+\mu Mg\cos\alpha. Отсюда T=Mg\sin\alpha-\mu Mg\cos\alpha=5-2{,}6=2{,}4 Н.
Шаг 4 — висящий груз. Для него тоже равновесие: нить тянет вверх, тяжесть вниз, T=mg. Значит m=\dfrac{T}{g}=\dfrac{M(\sin\alpha-\mu\cos\alpha)g}{g}=M(\sin\alpha-\mu\cos\alpha). Считаем: m=1\cdot(0{,}5-0{,}3\cdot 0{,}866)=0{,}5-0{,}26=0{,}24 кг.
Проверка смысла ответа. Получилось 0{,}24 кг — заметно меньше килограммовой M: часть скатывающей силы гасит трение, а подвесу остаётся только «добрать» недостающие 2{,}4 Н. Если бы трение было сильнее, чем \tan\alpha (то есть \mu\gt 0{,}577), груз стоял бы и сам, и минимальная масса оказалась бы нулевой.
Почему такая модель. Оба груза — материальные точки, поэтому достаточно второго закона Ньютона в форме «сумма сил равна нулю» для каждого тела отдельно (условие равновесия в инерциальной системе отсчёта). Нить лёгкая и нерастяжимая, а блок невесом и вращается без трения — именно поэтому натяжение по всей нити одно и то же и его можно обозначить одной буквой T. Для трения используем закон сухого трения: сила трения покоя не превышает \mu N, а «минимальная масса» — это как раз граничный случай, когда трение вышло на свой максимум и направлено вверх по склону.