ID: 00026383
На шероховатой наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол $\alpha=30^{\circ},$ лежит маленькая шайба массой $m=500$ г. Коэффициент трения шайбы о плоскость μ = 0,7. Какую минимальную силу $F_{min}$ в горизонтальном направлении вдоль плоскости надо приложить к шайбе, чтобы она сдвинулась с места?
Источник: ФИПИ
Сначала пойми геометрию — она здесь и есть вся задача. Шайба лежит на наклонной плоскости, и на рисунке видно, что силу $F$ тянут не вверх по склону, а вдоль горизонтального направления, лежащего в самой этой плоскости — то есть «поперёк склона», параллельно нижнему краю плоскости. Значит, работать придётся сразу с двумя направлениями внутри плоскости, а они друг другу перпендикулярны.
Шаг 1 — какие силы прижимают шайбу. Перпендикулярно плоскости шайба не движется, поэтому нормальная реакция уравновешивает прижимающую составляющую силы тяжести: $N=mg\cos\alpha$. Приложенная сила $F$ лежит В плоскости и на прижатие вообще не влияет — это важный момент, из-за него $N$ не меняется. Считаем: $N=0{,}5\cdot 10\cdot\cos30^\circ=5\cdot 0{,}866\approx 4{,}33$ Н.
Шаг 2 — что тянет шайбу вдоль плоскости. Во-первых, скатывающая составляющая силы тяжести $mg\sin\alpha=5\cdot 0{,}5=2{,}5$ Н — она направлена вниз по линии наибольшего скáта. Во-вторых, наша сила $F$ — перпендикулярно ей, горизонтально. Две перпендикулярные силы складываются по теореме Пифагора, поэтому суммарная «сдвигающая» сила равна $\sqrt{(mg\sin\alpha)^2+F^2}$.
Шаг 3 — условие начала движения. Пока шайба покоится, сила трения покоя уравновешивает эту сдвигающую силу, но она не может превысить максимума $\mu N=\mu mg\cos\alpha=0{,}7\cdot 4{,}33\approx 3{,}03$ Н. Шайба сдвинется, когда сдвигающая сила дорастёт до этого максимума: $\sqrt{(mg\sin\alpha)^2+F_{min}^2}=\mu mg\cos\alpha$.
Шаг 4 — выражаем и считаем. $F_{min}=\sqrt{(\mu mg\cos\alpha)^2-(mg\sin\alpha)^2}=mg\sqrt{\mu^2\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}$. Подставляем: $F_{min}=\sqrt{3{,}03^2-2{,}5^2}=\sqrt{9{,}19-6{,}25}=\sqrt{2{,}94}\approx 1{,}7$ Н.
Проверка на здравый смысл. Под корнем должно быть положительное число, а это значит $\mu\gt\tan\alpha$: $\tan30^\circ\approx 0{,}58$, а $\mu=0{,}7$ — действительно больше. Физически это как раз то, что шайба сама по себе на склоне лежит и не съезжает, поэтому её и приходится подталкивать. Если бы трения хватало «в притык», ответ вышел бы нулевым.
Почему модель такая. Шайба «маленькая», значит это материальная точка, и опрокидывания нет. Работают: второй закон Ньютона (в состоянии покоя сумма сил равна нулю — и по нормали к плоскости, и внутри неё), принцип суперпозиции сил (складываем векторы) и закон сухого трения Амонтона — Кулона в виде $F_{тр}\le\mu N$, где важно, что порог трения задаётся именно нормальной реакцией. Сила трения покоя направлена против суммарной сдвигающей силы — то есть «косо» относительно склона, и именно поэтому нельзя решать задачу отдельно по склону и отдельно поперёк.