ID: 00026383
На шероховатой наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол \alpha=30^{\circ}, лежит маленькая шайба массой m=500 г. Коэффициент трения шайбы о плоскость μ = 0,7. Какую минимальную силу F _{min} в горизонтальном направлении вдоль плоскости надо приложить к шайбе, чтобы она сдвинулась с места?
Источник: ФИПИ
Сначала пойми геометрию — она здесь и есть вся задача. Шайба лежит на наклонной плоскости, и на рисунке видно, что силу F тянут не вверх по склону, а вдоль горизонтального направления, лежащего в самой этой плоскости — то есть «поперёк склона», параллельно нижнему краю плоскости. Значит, работать придётся сразу с двумя направлениями внутри плоскости, а они друг другу перпендикулярны.
Шаг 1 — какие силы прижимают шайбу. Перпендикулярно плоскости шайба не движется, поэтому нормальная реакция уравновешивает прижимающую составляющую силы тяжести: N=mg\cos\alpha. Приложенная сила F лежит В плоскости и на прижатие вообще не влияет — это важный момент, из-за него N не меняется. Считаем: N=0{,}5\cdot 10\cdot\cos30^\circ=5\cdot 0{,}866\approx 4{,}33 Н.
Шаг 2 — что тянет шайбу вдоль плоскости. Во-первых, скатывающая составляющая силы тяжести mg\sin\alpha=5\cdot 0{,}5=2{,}5 Н — она направлена вниз по линии наибольшего скáта. Во-вторых, наша сила F — перпендикулярно ей, горизонтально. Две перпендикулярные силы складываются по теореме Пифагора, поэтому суммарная «сдвигающая» сила равна \sqrt{(mg\sin\alpha)^2+F^2}.
Шаг 3 — условие начала движения. Пока шайба покоится, сила трения покоя уравновешивает эту сдвигающую силу, но она не может превысить максимума \mu N=\mu mg\cos\alpha=0{,}7\cdot 4{,}33\approx 3{,}03 Н. Шайба сдвинется, когда сдвигающая сила дорастёт до этого максимума: \sqrt{(mg\sin\alpha)^2+F_{min}^2}=\mu mg\cos\alpha.
Шаг 4 — выражаем и считаем. F_{min}=\sqrt{(\mu mg\cos\alpha)^2-(mg\sin\alpha)^2}=mg\sqrt{\mu^2\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}. Подставляем: F_{min}=\sqrt{3{,}03^2-2{,}5^2}=\sqrt{9{,}19-6{,}25}=\sqrt{2{,}94}\approx 1{,}7 Н.
Проверка на здравый смысл. Под корнем должно быть положительное число, а это значит \mu\gt\tan\alpha: \tan30^\circ\approx 0{,}58, а \mu=0{,}7 — действительно больше. Физически это как раз то, что шайба сама по себе на склоне лежит и не съезжает, поэтому её и приходится подталкивать. Если бы трения хватало «в притык», ответ вышел бы нулевым.
Почему модель такая. Шайба «маленькая», значит это материальная точка, и опрокидывания нет. Работают: второй закон Ньютона (в состоянии покоя сумма сил равна нулю — и по нормали к плоскости, и внутри неё), принцип суперпозиции сил (складываем векторы) и закон сухого трения Амонтона — Кулона в виде F_{тр}\le\mu N, где важно, что порог трения задаётся именно нормальной реакцией. Сила трения покоя направлена против суммарной сдвигающей силы — то есть «косо» относительно склона, и именно поэтому нельзя решать задачу отдельно по склону и отдельно поперёк.