ID: 00026381
Каково среднее давление пороховых газов в стволе орудия, если скорость вылетевшего из него снаряда 1,5 км/с? Длина ствола 3 м, его диаметр 45 мм, масса снаряда 2 кг. (Трение пренебрежимо мало.)
Источник: ФИПИ
Разберёмся, что происходит внутри ствола. Порох сгорает, газы давят на донце снаряда и толкают его вперёд. Пока снаряд идёт по стволу (это 3 м), сила давления его разгоняет: у дульного среза скорость уже 1{,}5 км/с, то есть 1500 м/с. Слова «среднее давление» означают вот что: настоящее давление в стволе всё время меняется, но мы ищем такое постоянное давление, которое разогнало бы снаряд точно так же.
Шаг 1 — находим силу. Трения нет, значит вся работа силы давления идёт в кинетическую энергию снаряда. Это теорема о кинетической энергии: работа всех сил равна изменению кинетической энергии, FL=\dfrac{mv^2}{2}-0. Отсюда F=\dfrac{mv^2}{2L}.
Считаем: F=\dfrac{2\cdot 1500^2}{2\cdot 3}=\dfrac{2\cdot 2\,250\,000}{6}=\dfrac{4\,500\,000}{6}=750\,000 Н.
Шаг 2 — площадь донца. Снаряд входит в ствол диаметром d=45 мм =0{,}045 м, значит площадь, на которую давят газы, — это круг: S=\dfrac{\pi d^2}{4}=\dfrac{3{,}14\cdot 0{,}045^2}{4}=\dfrac{3{,}14\cdot 0{,}002025}{4}\approx 0{,}00159 м^2. Обрати внимание: диаметр обязательно переводим в метры, иначе площадь уедет в миллион раз.
Шаг 3 — давление. По определению давление — это сила, поделённая на площадь, на которую она распределена: p=\dfrac{F}{S}=\dfrac{750\,000}{0{,}00159}\approx 4{,}7\cdot 10^{8} Па. Это примерно 470 МПа, около 4700 атмосфер — для орудийного ствола вполне правдоподобно.
Почему тут работает именно такая модель. Снаряд мы считаем материальной точкой, движущейся по прямой: его размеры и вращение для расчёта разгона не важны. Трения по условию нет, поэтому единственная сила вдоль ствола — сила давления газов, и энергетическая теорема даёт её среднее значение напрямую, без разбирательства, как давление меняется по времени. Само же соотношение p=F/S — это определение давления, а не отдельный закон. Можно проверить себя вторым законом Ньютона: при равноускоренном движении a=\dfrac{v^2}{2L}=\dfrac{1500^2}{2\cdot 3}=375\,000 м/с^2, и тогда F=ma=2\cdot 375\,000=750\,000 Н — та же сила, всё сходится.