ID: 00026381
Каково среднее давление пороховых газов в стволе орудия, если скорость вылетевшего из него снаряда 1,5 км/с? Длина ствола 3 м, его диаметр 45 мм, масса снаряда 2 кг. (Трение пренебрежимо мало.)
Источник: ФИПИ
Разберёмся, что происходит внутри ствола. Порох сгорает, газы давят на донце снаряда и толкают его вперёд. Пока снаряд идёт по стволу (это $3$ м), сила давления его разгоняет: у дульного среза скорость уже $1{,}5$ км/с, то есть $1500$ м/с. Слова «среднее давление» означают вот что: настоящее давление в стволе всё время меняется, но мы ищем такое постоянное давление, которое разогнало бы снаряд точно так же.
Шаг 1 — находим силу. Трения нет, значит вся работа силы давления идёт в кинетическую энергию снаряда. Это теорема о кинетической энергии: работа всех сил равна изменению кинетической энергии, $FL=\dfrac{mv^2}{2}-0$. Отсюда $F=\dfrac{mv^2}{2L}$.
Считаем: $F=\dfrac{2\cdot 1500^2}{2\cdot 3}=\dfrac{2\cdot 2\,250\,000}{6}=\dfrac{4\,500\,000}{6}=750\,000$ Н.
Шаг 2 — площадь донца. Снаряд входит в ствол диаметром $d=45$ мм $=0{,}045$ м, значит площадь, на которую давят газы, — это круг: $S=\dfrac{\pi d^2}{4}=\dfrac{3{,}14\cdot 0{,}045^2}{4}=\dfrac{3{,}14\cdot 0{,}002025}{4}\approx 0{,}00159$ м$^2$. Обрати внимание: диаметр обязательно переводим в метры, иначе площадь уедет в миллион раз.
Шаг 3 — давление. По определению давление — это сила, поделённая на площадь, на которую она распределена: $p=\dfrac{F}{S}=\dfrac{750\,000}{0{,}00159}\approx 4{,}7\cdot 10^{8}$ Па. Это примерно $470$ МПа, около $4700$ атмосфер — для орудийного ствола вполне правдоподобно.
Почему тут работает именно такая модель. Снаряд мы считаем материальной точкой, движущейся по прямой: его размеры и вращение для расчёта разгона не важны. Трения по условию нет, поэтому единственная сила вдоль ствола — сила давления газов, и энергетическая теорема даёт её среднее значение напрямую, без разбирательства, как давление меняется по времени. Само же соотношение $p=F/S$ — это определение давления, а не отдельный закон. Можно проверить себя вторым законом Ньютона: при равноускоренном движении $a=\dfrac{v^2}{2L}=\dfrac{1500^2}{2\cdot 3}=375\,000$ м/с$^2$, и тогда $F=ma=2\cdot 375\,000=750\,000$ Н — та же сила, всё сходится.