Кинематика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00041079

Дано:

$t_1 = 9\ \text{с}$

$t_2 = 8\ \text{с}$

Найти: $\tau$

---

Шаг 1. Что вообще происходит и что мы ищем.

Поезд трогается с места, то есть его начальная скорость равна нулю, и дальше разгоняется с постоянным ускорением $a$. Опоздание $\tau$ — это время, которое прошло с момента отхода поезда до момента, когда пассажир выбежал на перрон.

Обозначим: $S$ — длина одного вагона, $a$ — ускорение поезда. Отсчёт времени ведём от момента отхода поезда, а точку отсчёта пути привяжем к тому месту, где стояло начало предпоследнего вагона в момент отхода.

Ключевая мысль: пассажир стоит на месте, поэтому «мимо него прошёл вагон» означает, что поезд проехал ровно длину одного вагона.

Шаг 2. Три момента времени и три пути.

Раз поезд стартует из состояния покоя, путь за время $t$ от момента отхода:

$S(t) = \dfrac{a t^2}{2}$

Момент первый — пассажир вышел на перрон, прошло время $\tau$:

$S_1 = \dfrac{a \tau^2}{2}$

Момент второй — мимо пассажира прошёл предпоследний вагон, то есть с момента отхода прошло $\tau + t_1$. К этому времени поезд проехал на одну длину вагона больше:

$S_1 + S = \dfrac{a (\tau + t_1)^2}{2}$

Момент третий — прошёл ещё и последний вагон, с момента отхода прошло $\tau + t_1 + t_2$. Поезд проехал на две длины вагона больше, чем в первый момент:

$S_1 + 2S = \dfrac{a (\tau + t_1 + t_2)^2}{2}$

Шаг 3. Выражаем длину вагона двумя способами.

Из второго уравнения вычитаем первое — получаем длину одного вагона:

$S = \dfrac{a}{2} \left[ (\tau + t_1)^2 - \tau^2 \right]$

Из третьего уравнения вычитаем первое — получаем две длины вагона:

$2S = \dfrac{a}{2} \left[ (\tau + t_1 + t_2)^2 - \tau^2 \right]$

Шаг 4. Приравниваем.

Вагоны одинаковые, значит вторая скобка ровно вдвое больше первой:

$2 \cdot \dfrac{a}{2} \left[ (\tau + t_1)^2 - \tau^2 \right] = \dfrac{a}{2} \left[ (\tau + t_1 + t_2)^2 - \tau^2 \right]$

Множитель $\dfrac{a}{2}$ стоит в обеих частях — сокращаем его. Ускорение из задачи выпадает целиком, и это хорошо: его нам никто не давал.

$2 \left[ (\tau + t_1)^2 - \tau^2 \right] = (\tau + t_1 + t_2)^2 - \tau^2$

Шаг 5. Раскрываем скобки.

Левая часть:

$(\tau + t_1)^2 - \tau^2 = \tau^2 + 2\tau t_1 + t_1^2 - \tau^2 = 2\tau t_1 + t_1^2$

значит слева стоит

$2 \left( 2\tau t_1 + t_1^2 \right) = 4\tau t_1 + 2 t_1^2$

Правая часть:

$(\tau + t_1 + t_2)^2 - \tau^2 = \tau^2 + 2\tau(t_1 + t_2) + (t_1 + t_2)^2 - \tau^2 = 2\tau(t_1 + t_2) + (t_1 + t_2)^2$

Приравниваем:

$4\tau t_1 + 2 t_1^2 = 2\tau t_1 + 2\tau t_2 + (t_1 + t_2)^2$

Шаг 6. Собираем всё с $\tau$ в одну сторону.

$4\tau t_1 - 2\tau t_1 - 2\tau t_2 = (t_1 + t_2)^2 - 2 t_1^2$

$2\tau (t_1 - t_2) = t_1^2 + 2 t_1 t_2 + t_2^2 - 2 t_1^2$

$2\tau (t_1 - t_2) = t_2^2 + 2 t_1 t_2 - t_1^2$

$\tau = \dfrac{t_2^2 + 2 t_1 t_2 - t_1^2}{2 (t_1 - t_2)}$

Шаг 7. Считаем.

Числитель:

$t_2^2 + 2 t_1 t_2 - t_1^2 = 64 + 2 \cdot 9 \cdot 8 - 81 = 64 + 144 - 81 = 127$

Знаменатель:

$2 (t_1 - t_2) = 2 \cdot (9 - 8) = 2$

$\tau = \dfrac{127}{2} = 63{,}5\ \text{с}$

Проверка. Пусть $\tau = 63{,}5$ с. Тогда за первый вагон поезд проехал $\dfrac{a}{2}(72{,}5^2 - 63{,}5^2) = \dfrac{a}{2} \cdot 1224 = 612a$, а за два вагона $\dfrac{a}{2}(80{,}5^2 - 63{,}5^2) = \dfrac{a}{2} \cdot 2448 = 1224a$ — ровно вдвое больше. Вагоны получились одинаковыми, значит ответ верный.

Ответ: $\tau = \dfrac{t_2^2 + 2 t_1 t_2 - t_1^2}{2 (t_1 - t_2)} = 63{,}5\ \text{с}$

УСЛОВИЯ ПРИМЕНИМОСТИ ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ЗАКОНОВ

1. Поезд движется прямолинейно и равноускоренно: ускорение постоянно по модулю и направлению на всём рассматриваемом промежутке. Иначе формула $S = \dfrac{a t^2}{2}$ неприменима.

2. В момент отхода скорость поезда равна нулю — только при этом условии путь считается по формуле без слагаемого $v_0 t$.

3. Все вагоны имеют одинаковую длину — на этом равенстве и построено всё решение.

4. Пассажир неподвижен относительно перрона, поэтому «вагон прошёл мимо» равносильно «поезд проехал длину вагона».

5. Система отсчёта, связанная с вокзалом, считается инерциальной.

6. Промежутки между вагонами и размеры самого пассажира не учитываем — он материальная точка на перроне.