Кинематика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00041076

Дано:

$v_0 = 5\ \text{м/с}$

$h = 1{,}05\ \text{м}$

$H = 2{,}25\ \text{м}$

$g = 10\ \text{м/с}^2$

Найти: $\tau$

---

Разобьём движение на два этапа: полёт вверх до удара о потолок и падение от потолка до пола.

Этап 1. Полёт до потолка. Направим ось вверх. Шарик поднимается с ускорением $g$, направленным вниз:

$h = v_0 t_1 - \dfrac{g t_1^2}{2}$

Подставляем числа:

$1{,}05 = 5 t_1 - 5 t_1^2$

$5 t_1^2 - 5 t_1 + 1{,}05 = 0$

$t_1^2 - t_1 + 0{,}21 = 0$

Дискриминант $D = 1 - 0{,}84 = 0{,}16$, корни:

$t_1 = \dfrac{1 \pm 0{,}4}{2}$, то есть $t_1 = 0{,}3\ \text{с}$ или $t_1 = 0{,}7\ \text{с}$

Второй корень отбрасываем: он соответствует моменту, когда шарик прошёл бы эту высоту уже на обратном пути, но потолок он встретит раньше. Значит $t_1 = 0{,}3\ \text{с}$.

Скорость перед ударом:

$v = v_0 - g t_1 = 5\ \text{м/с} - 10\ \text{м/с}^2 \cdot 0{,}3\ \text{с} = 2\ \text{м/с}$

Этап 2. Падение от потолка до пола. Удар абсолютно упругий, значит модуль скорости не меняется, а направление становится противоположным: шарик стартует от потолка вниз со скоростью $2\ \text{м/с}$ и проходит всю высоту комнаты $H$:

$H = v t + \dfrac{g t^2}{2}$

$2{,}25 = 2t + 5t^2$

$5t^2 + 2t - 2{,}25 = 0$

Дискриминант $D = 4 + 45 = 49$, положительный корень:

$t = \dfrac{-2 + 7}{10} = 0{,}5\ \text{с}$

Полное время:

$\tau = t_1 + t = 0{,}3\ \text{с} + 0{,}5\ \text{с} = 0{,}8\ \text{с}$

Ответ: $\tau = 0{,}8\ \text{с}$

---

УСЛОВИЯ ПРИМЕНИМОСТИ ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ЗАКОНОВ

1. Шарик считаем материальной точкой — его размеры малы по сравнению с высотой комнаты, вращением пренебрегаем.

2. Сопротивление воздуха не учитываем, иначе ускорение не было бы постоянным и формулы равноускоренного движения не работали бы.

3. Ускорение свободного падения постоянно по модулю и направлению: высоты порядка метров ничтожны по сравнению с радиусом Земли.

4. Система отсчёта, связанная с комнатой, считается инерциальной — вращением Земли пренебрегаем.

5. Удар о потолок считаем абсолютно упругим и мгновенным: механическая энергия сохраняется, модуль скорости после удара такой же, как до него, а время самого удара в общее время полёта не входит.