Кинематика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00041077

$h = 1{,}5\ \text{м}$

$\alpha = 45^\circ$

$l = 6\ \text{м}$

$g = 10\ \text{м/с}^2$

Найти: $v_0$

---

Шаг 1. Что делает с мячом удар о стену.

Стена вертикальная и неподвижная, удар абсолютно упругий. Разложим скорость мяча в момент удара на две составляющие: горизонтальную (она перпендикулярна стене) и вертикальную (она идёт вдоль стены).

Упругий удар о неподвижную стенку разворачивает только ту составляющую, которая перпендикулярна стенке — горизонтальную. Её модуль сохраняется, а знак меняется. Вертикальная составляющая стену «не замечает» и остаётся такой же.

Отсюда главный вывод: вертикальное движение мяча идёт так, будто стены вообще нет. Мяч летит по вертикали как обычное тело, брошенное под углом с высоты $h$, а удар только заворачивает его обратно по горизонтали.

Шаг 2. Разворачиваем траекторию.

Раз по горизонтали мяч летит с постоянной по модулю скоростью $v_{0x} = v_0 \cos\alpha$ (сила тяжести горизонтальную скорость не меняет), то он проходит:

- сначала расстояние $l$ от мальчика до стены,

- потом такое же расстояние $l$ обратно от стены к ногам мальчика.

Итого по горизонтали мяч проходит путь $2l$. Это то же самое, как если бы стену убрали и мяч просто улетел вперёд на $2l$ — вертикальное движение от этого не изменится.

Обозначим полное время полёта $t_0$ (от броска до падения к ногам). Тогда по горизонтали:

$v_0 \cos\alpha \cdot t_0 = 2l$

Отсюда выражаем время:

$t_0 = \dfrac{2l}{v_0 \cos\alpha}$

Шаг 3. Записываем вертикальное движение.

Направим ось $Oy$ вверх, начало отсчёта — на уровне земли. Мяч стартует с высоты $h$, вертикальная составляющая начальной скорости равна $v_0 \sin\alpha$, ускорение $-g$:

$y(t) = h + v_0 \sin\alpha \cdot t - \dfrac{g t^2}{2}$

Мяч падает к ногам мальчика, то есть на землю. Значит в момент $t_0$ вертикальная координата равна нулю:

$h + v_0 \sin\alpha \cdot t_0 - \dfrac{g t_0^2}{2} = 0$

Шаг 4. Убираем время.

Подставляем $t_0 = \dfrac{2l}{v_0 \cos\alpha}$ в это уравнение. Разберём по слагаемым.

Второе слагаемое:

$v_0 \sin\alpha \cdot \dfrac{2l}{v_0 \cos\alpha} = 2l \cdot \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2l,\mathrm{tg},\alpha$

Видно, что $v_0$ здесь сократилась.

Третье слагаемое:

$\dfrac{g}{2} \cdot \left( \dfrac{2l}{v_0 \cos\alpha} \right)^2 = \dfrac{g}{2} \cdot \dfrac{4l^2}{v_0^2 \cos^2\alpha} = \dfrac{2 g l^2}{v_0^2 \cos^2\alpha}$

Собираем уравнение:

$h + 2l,\mathrm{tg},\alpha - \dfrac{2 g l^2}{v_0^2 \cos^2\alpha} = 0$

Переносим последнее слагаемое вправо:

$h + 2l,\mathrm{tg},\alpha = \dfrac{2 g l^2}{v_0^2 \cos^2\alpha}$

Шаг 5. Выражаем скорость.

$v_0^2 = \dfrac{2 g l^2}{\cos^2\alpha , (h + 2l,\mathrm{tg},\alpha)}$

$v_0 = \dfrac{l}{\cos\alpha} \sqrt{\dfrac{2g}{h + 2l,\mathrm{tg},\alpha}}$

Шаг 6. Считаем.

Угол $45^\circ$, поэтому $\mathrm{tg},\alpha = 1$, а $\cos^2 45^\circ = 0{,}5$.

Знаменатель:

$h + 2l,\mathrm{tg},\alpha = 1{,}5\ \text{м} + 2 \cdot 6\ \text{м} \cdot 1 = 13{,}5\ \text{м}$

Считаем квадрат скорости:

$v_0^2 = \dfrac{2 \cdot 10\ \text{м/с}^2 \cdot (6\ \text{м})^2}{0{,}5 \cdot 13{,}5\ \text{м}} = \dfrac{720}{6{,}75} \approx 106{,}7\ \text{м}^2/\text{с}^2$

$v_0 = \sqrt{106{,}7} \approx 10{,}3\ \text{м/с} \approx 10\ \text{м/с}$

Ответ: $v_0 = \dfrac{l}{\cos\alpha} \sqrt{\dfrac{2g}{h + 2l,\mathrm{tg},\alpha}} \approx 10\ \text{м/с}$

---

УСЛОВИЯ ПРИМЕНИМОСТИ ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ЗАКОНОВ

1. Мяч считаем материальной точкой: его размеры малы по сравнению с расстоянием до стены, вращением и деформацией пренебрегаем.

2. Сопротивление воздуха не учитываем — иначе горизонтальная скорость не была бы постоянной, а вертикальное движение перестало бы быть равноускоренным.

3. Ускорение свободного падения постоянно по модулю и направлению: расстояния порядка метров ничтожно малы по сравнению с радиусом Земли.

4. Система отсчёта, связанная с землёй, считается инерциальной — вращением Земли пренебрегаем.

5. Удар о стену считаем абсолютно упругим и мгновенным: модуль скорости сохраняется, разворачивается только перпендикулярная стене составляющая, а время самого удара в общее время полёта не входит.

6. Стена неподвижна и строго вертикальна, иначе вертикальная составляющая скорости при ударе тоже изменилась бы.