Кинематика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00041078

Дано:

$\tau = 1\ \text{с}$

$n = 5$

$v_0 = 0$

Найти: $t_0$

---

Шаг 1. Вводим обозначения.

Пусть $H$ — вся высота падения, $t_0$ — полное время падения, $S_1$ — путь за первую секунду, $S_2$ — путь за последнюю секунду. По условию:

$S_2 = n S_1$

Шаг 2. Путь за первую секунду.

Тело падает из состояния покоя, значит $v_0 = 0$, и путь за время $t$ считается по формуле

$S = \dfrac{g t^2}{2}$

За первую секунду:

$S_1 = \dfrac{g \tau^2}{2}$

Шаг 3. Путь за последнюю секунду.

Здесь ловушка: формулу нельзя применить напрямую, потому что в начале последней секунды тело уже летит с приличной скоростью, а не с нуля. Поэтому пользуемся хитростью — считаем путь как разность.

Весь путь за время $t_0$:

$H = \dfrac{g t_0^2}{2}$

Путь, пройденный к началу последней секунды, то есть за время $t_0 - \tau$:

$H_1 = \dfrac{g (t_0 - \tau)^2}{2}$

Последняя секунда — это разность:

$S_2 = H - H_1 = \dfrac{g t_0^2}{2} - \dfrac{g (t_0 - \tau)^2}{2}$

Шаг 4. Упрощаем.

Выносим $\dfrac{g}{2}$ за скобку и раскрываем квадрат разности:

$S_2 = \dfrac{g}{2} \left( t_0^2 - (t_0 - \tau)^2 \right) = \dfrac{g}{2} \left( t_0^2 - t_0^2 + 2 t_0 \tau - \tau^2 \right)$

$S_2 = \dfrac{g}{2} \left( 2 t_0 \tau - \tau^2 \right) = \dfrac{g \tau}{2} \left( 2 t_0 - \tau \right)$

Шаг 5. Подставляем условие задачи.

$S_2 = n S_1$

$\dfrac{g \tau}{2} \left( 2 t_0 - \tau \right) = n \cdot \dfrac{g \tau^2}{2}$

Сокращаем обе части на $\dfrac{g \tau}{2}$ — заметь, что ускорение свободного падения выпало из задачи целиком:

$2 t_0 - \tau = n \tau$

$2 t_0 = \tau (n + 1)$

$t_0 = \dfrac{\tau (n + 1)}{2}$

Шаг 6. Считаем.

$t_0 = \dfrac{1\ \text{с} \cdot (5 + 1)}{2} = 3\ \text{с}$

Проверка. За первую секунду тело пролетит $S_1 = \dfrac{10 \cdot 1^2}{2} = 5\ \text{м}$. Вся высота: $H = \dfrac{10 \cdot 3^2}{2} = 45\ \text{м}$, а за первые 2 секунды: $\dfrac{10 \cdot 2^2}{2} = 20\ \text{м}$. Значит за последнюю секунду тело пролетело $45 - 20 = 25\ \text{м}$, и это ровно в 5 раз больше 5 м. Сходится.

Ответ: $t_0 = \dfrac{\tau (n + 1)}{2} = 3\ \text{с}$

---

УСЛОВИЯ ПРИМЕНИМОСТИ ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ЗАКОНОВ

1. Тело считаем материальной точкой — его размеры малы по сравнению с высотой падения.

2. Сопротивление воздуха не учитываем: падение считается свободным, то есть под действием одной только силы тяжести. Иначе тело выходило бы на постоянную скорость и путь за последние секунды перестал бы расти.

3. Ускорение свободного падения постоянно по модулю и направлению — высота падения мала по сравнению с радиусом Земли.

4. Система отсчёта, связанная с Землёй, считается инерциальной.

5. Начальная скорость строго равна нулю (тело отпускают, а не бросают) — только тогда работает формула $S = \dfrac{g t^2}{2}$.