ID: 00026364
Прибор наблюдения обнаружил летящий снаряд и зафиксировал его горизонтальную координату х 1 и высоту h 1 = 1655 м над Землёй (см. рисунок). Через 3 с снаряд упал на Землю и взорвался на расстоянии l = 1700 м от места его обнаружения. Известно, что снаряды данного типа вылетают из ствола пушки со скоростью 800 м/с. На каком расстоянии от точки взрыва снаряда находилась пушка, если считать, что сопротивление воздуха пренебрежимо мал ό? Пушка и место взрыва находятся на одной горизонтали.
Обоснуйте применимость законов, используемых в этой задаче!
Источник: ФИПИ
Что происходит по рисунку. Снаряд летит по параболе слева направо; в некоторый момент прибор засекает его на высоте $h_1=1655$ м над Землёй (горизонтальная координата в этот момент $x_1$). Через $3$ с снаряд падает на землю и взрывается, причём по горизонтали он за это время сместился на $l=1700$ м от точки обнаружения. Пушка стоит на земле левее и стреляла со скоростью $800$ м/с. Нужно расстояние по земле от пушки до места взрыва — то есть вся горизонтальная дальность полёта.
Почему задачу можно «разобрать по осям». Сопротивлением воздуха пренебрегаем, значит на снаряд действует только сила тяжести. Горизонтальная составляющая скорости при этом не меняется вообще НИКОГДА — ни у ствола, ни в верхней точке, ни при падении. А вертикальная меняется по закону свободного падения. Это и позволяет по куску траектории восстановить всю траекторию: горизонтальную скорость мы находим из последних трёх секунд, а вертикальную «отматываем» назад к моменту выстрела.
Шаг 1 — горизонтальная скорость. За $3$ с снаряд прошёл по горизонтали $1700$ м: $v_x=\dfrac{l}{t}=\dfrac{1700}{3}\approx 567$ м/с. Такой она была и в стволе.
Шаг 2 — вертикальная скорость в момент обнаружения. Снаряд уже снижается. Направим ось вниз: за $3$ с он опустился на $1655$ м, поэтому $h_1=v_y t+\dfrac{g t^2}{2}$, то есть $1655=3v_y+\dfrac{10\cdot 9}{2}=3v_y+45$. Отсюда $3v_y=1610$ и $v_y\approx 537$ м/с (вниз).
Шаг 3 — вертикальная скорость в момент выстрела. По вертикали снаряд движется как свободно падающее тело, поэтому годится формула без времени: $v_{y0}^2=v_y^2+2gh_1$. Считаем: $v_{y0}^2=537^2+2\cdot 10\cdot 1655=288\,369+33\,100=321\,469$, значит $v_{y0}\approx 567$ м/с.
Шаг 4 — сверимся с паспортной скоростью снаряда. Полная скорость у дула $v_0=\sqrt{v_x^2+v_{y0}^2}=\sqrt{321\,111+321\,469}\approx 801$ м/с — это практически заданные $800$ м/с. Значит, всё сходится, и заодно видно, что стреляли под углом $45^\circ$ (обе составляющие получились одинаковыми).
Шаг 5 — полное время полёта. Пушка и место взрыва на одной горизонтали, поэтому снаряд взлетел и опустился на ту же высоту: $T=\dfrac{2v_{y0}}{g}=\dfrac{2\cdot 567}{10}\approx 113$ с.
Шаг 6 — дальность: $S=v_x T\approx 567\cdot 113\approx 64\,000$ м, то есть примерно $64$ км.
Проверим правдоподобность. При скорости $800$ м/с и угле $45^\circ$ теоретическая дальность равна $\dfrac{v_0^2}{g}=\dfrac{640\,000}{10}=64\,000$ м — ровно наш ответ. Огромное число получается именно потому, что мы полностью выбросили сопротивление воздуха; у настоящей артиллерии дальность в несколько раз меньше.