ID: 00017520
Прибор наблюдения обнаружил летящий снаряд и зафиксировал его горизонтальную координату $x$ и высоту $h_1 = 1655$ м над Землёй (см. рисунок). Через 3 с снаряд упал на Землю и взорвался на расстоянии $l = 1700$ м от места его обнаружения. Чему равнялось время полёта снаряда от пушки до места взрыва, если считать, что сопротивление воздуха пренебрежимо мало? Пушка и место взрыва находятся на одной горизонтали.
Какие законы Вы использовали для описания движения снаряда? Обоснуйте их применение к данному случаю.
Источник: ФИПИ
$h_1 = 1655$ м — высота в момент обнаружения; $\Delta t = 3$ с — время от обнаружения до падения; пушка и взрыв на одной горизонтали; $g = 10$ м/с$^2$. Найти полное время полёта $T$.
Снаряд летит по параболе (бросок под углом без сопротивления воздуха). У такого полёта есть красивое свойство симметрии: траектория — зеркальная относительно вершины, и по высоте всё «туда» повторяется «обратно». Нам про горизонталь $l = 1700$ м даже считать ничего не нужно — ответ полностью спрятан в вертикальном движении. Главная зацепка: за последние 3 секунды снаряд спустился с высоты $h_1$ до земли.
Используем законы кинематики равноускоренного движения. Обоснование: сопротивлением воздуха пренебрегаем, поэтому единственная сила — тяжесть, и ускорение постоянно и равно $g$, направлено вниз. По горизонтали ускорения нет (движение равномерное), по вертикали — равноускоренное. Снаряд считаем материальной точкой.
Слева высоко — снаряд в момент обнаружения на высоте $h_1$; пунктирная дуга — кусок его параболической траектории до падения; справа на земле стоит прибор наблюдения, $l$ — горизонтальное расстояние до места взрыва. И пушка, и точка взрыва лежат на земле (на одной горизонтали).
Раз пушка и взрыв на одной высоте, снаряд поднялся и опустился на одну и ту же высоту. По симметрии он падает ровно столько же, сколько взлетал, поэтому полное время полёта $T = 2t_{\text{под}}$, а начальная вертикальная скорость связана с $T$ так:
$$v_{0y} = \dfrac{gT}{2}.$$
Момент обнаружения наступил за $\Delta t = 3$ с до падения, то есть в момент времени $(T - 3)$ от старта. Высота в этот момент равна $h_1$:
$$h_1 = v_{0y}(T-3) - \dfrac{g(T-3)^2}{2}.$$
Подставим $v_{0y} = gT/2$ и вынесем $\dfrac{g}{2}$:
$$h_1 = \dfrac{g}{2}\Big[T(T-3) - (T-3)^2\Big] = \dfrac{g}{2}(T-3)\big[T-(T-3)\big] = \dfrac{g}{2}(T-3)\cdot 3.$$
Красиво: квадраты сократились, осталось линейное уравнение.
$$T - 3 = \dfrac{2h_1}{3g} = \dfrac{2\cdot 1655}{3\cdot 10} = \dfrac{3310}{30} \approx 110{,}3\ \text{с}.$$
$$T \approx 110{,}3 + 3 \approx 113{,}3\ \text{с} \approx 113\ \text{с}.$$