Кинематика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00041039

Дано:

$\alpha = 30^\circ$

$v_0 = 20$ м/с

$t = 1,5$ с

Найти:

$v, \varphi, x, y$ – ?

Решение:

Сделаем рисунок с указанием скоростей

Спроецируем вектор скорости и ускорения на каждую ось:

$v_{0x} = v_0 \cos\alpha \quad v_{0y} = v_0 \sin\alpha$

$a_x = 0 \quad a_y = -g$

Запишем уравнение движения и зависимость скоростей на каждую ось:

$x = x_0 + v_{0x} t + \frac{a_x t^2}{2}$

$y = y_0 + v_{0y} t + \frac{a_y t^2}{2}$

$v_x = v_{0x} + a_x t$

$v_y = v_{0y} + a_y t$

С учётом начальных условий получаем:

$x = v_0 \cos\alpha \, t$

$y = v_0 \sin\alpha \, t - \frac{g t^2}{2}$

$v_x = v_0 \cos\alpha$

$v_y = v_0 \sin\alpha - gt$

Найдём проекции скоростей через 1,5 с:

$v_x = v_0 \cos\alpha = 20 \text{ м/с} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 17,32$ м/с,

$v_y = v_0 \sin\alpha - gt = 20 \text{ м/с} \cdot \frac{1}{2} - 10 \text{ м/с}^2 \cdot 1,5 \text{ с} = -5$ м/с

Найдём длину вектора скорости, зная его проекции, через теорему Пифагора:

$|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(17,32 \text{ м/с})^2 + (5 \text{ м/с})^2} \approx 18,03$ м/с

Направление вектора задается через его проекции с помощью тангенса угла в прямоугольном треугольнике (см. рисунок). Так как проекция по оси $y$ отрицательна, то это означает, что вектор направлен вниз.

$\mathrm{tg}\,\varphi = \frac{|v_y|}{|v_x|} = \frac{5 \text{ м/с}}{17,32 \text{ м/с}} = 0,289$

$\varphi = \mathrm{arctg}(0,289) \approx 16^\circ$

Теперь найдём координаты тела через 1,5 с:

$x = v_0 \cos\alpha \, t = 20 \text{ м/с} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1,5 \text{ с} \approx 25,98$ м

$y = v_0 \sin\alpha \, t - \frac{g t^2}{2} = 20 \text{ м/с} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1,5 \text{ с} - \frac{10 \text{ м/с}^2 \cdot (1,5 \text{ с})^2}{2} = 3,75$ м

Ответ:

$|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \approx 18,03$ м/с, $\varphi = \mathrm{arctg}\left(\frac{|v_y|}{|v_x|}\right) \approx 16^\circ$, $x = v_0 \cos\alpha \, t \approx 25,98$ м, $y = v_0 \sin\alpha \, t - \frac{g t^2}{2} = 3,75$ м