Кинематика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00041075

Дано:

$\alpha = 60^\circ$

Найти: $\dfrac{h_1}{h_2}$

---

Пусть начальная скорость обоих шариков равна $v_0$, а максимальные высоты подъёма — $h_1$ и $h_2$.

Направим ось $Oy$ вертикально вверх, начало отсчёта поместим в точку броска. Тогда координата тела меняется по закону

$y(t) = y_0 + v_{0y} t + \dfrac{a_y t^2}{2}$

где $y_0 = 0$ — начальная координата, $v_{0y} = v_0 \sin\alpha$ — проекция начальной скорости на вертикаль, $a_y = -g$ — проекция ускорения свободного падения (вектор направлен вниз, против оси $Oy$).

Для первого шарика на участке подъёма:

$h_1 = v_0 \sin\alpha \cdot t - \dfrac{g t^2}{2}$

Найдём время подъёма. Проекция скорости меняется по закону $v_y(t) = v_{0y} + a_y t$, а в верхней точке траектории вертикальная составляющая скорости обращается в ноль:

$0 = v_0 \sin\alpha - g t$

$t = \dfrac{v_0 \sin\alpha}{g}$

Подставляем это время в выражение для высоты:

$h_1 = v_0 \sin\alpha \cdot \dfrac{v_0 \sin\alpha}{g} - \dfrac{g}{2} \cdot \left( \dfrac{v_0 \sin\alpha}{g} \right)^2 = \dfrac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g}$

Для второго шарика все выкладки те же, меняется только угол броска:

$h_2 = \dfrac{v_0^2 \sin^2 \dfrac{\alpha}{2}}{2g}$

Находим отношение. Скорость $v_0$ и ускорение $g$ у обоих шариков одинаковы, поэтому они сокращаются:

$\dfrac{h_1}{h_2} = \dfrac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \dfrac{\alpha}{2}} = \dfrac{\sin^2 60^\circ}{\sin^2 30^\circ} = \dfrac{0{,}75}{0{,}25} = 3$

Ответ: $\dfrac{h_1}{h_2} = 3$

---

УСЛОВИЯ ПРИМЕНИМОСТИ ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ЗАКОНОВ

1. Тела считаем материальными точками — их размеры и вращение не влияют на движение центра масс.

2. Сопротивление воздуха не учитываем, иначе движение перестаёт быть равноускоренным и формулы кинематики с постоянным $a$ работать не будут.

3. Ускорение свободного падения считаем постоянным по модулю и направлению: высота подъёма мала по сравнению с радиусом Земли, а горизонтальный разлёт мал по сравнению с её размерами.

4. Система отсчёта, связанная с поверхностью Земли, считается инерциальной — вращением Земли пренебрегаем.

5. На тело действует только сила тяжести, поэтому ускорение равно $g$ и направлено вертикально вниз в течение всего полёта.