ID: 00041055
Наклонная плоскость пересекается с горизонтальной плоскостью по прямой $AB$. Угол между плоскостями $\alpha = 30^\circ$. Маленькая шайба начинает движение вверх по наклонной плоскости из точки $A$ с начальной скоростью $v_0 = 2$ м/с под углом $\beta = 60^\circ$ к прямой $AB$. В ходе движения шайба съезжает на прямую $AB$ в точке $B$. Пренебрегая трением между шайбой и наклонной плоскостью, найдите расстояние $AB$.
Дано:
$\alpha = 30^\circ$
$\beta = 60^\circ$
$v_0 = 2$ м/с
Найти:
$AB$ – ?
Решение:
Ось $x$ направим вдоль прямой $AB$, ось $y$ – вверх по наклонной плоскости перпендикулярно линии $AB$.
Найдём проекции вектора ускорения свободного падения $\vec{g}$ на выбранные оси:
$g_x = 0, \quad g_y = -g \sin\alpha.$
Движение по наклонной плоскости эквивалентно движению тела, брошенного под углом $\beta$ к горизонту, в поле тяжести с ускорением $g_y$.
Уравнения движения вдоль осей $x$ и $y$:
$v_x(t) = v_0 \cos\beta; \quad x(t) = v_x \cdot t = v_0 \cos\beta \cdot t;$
$v_y(t) = v_{0y} + a_y t = v_0 \sin\beta - g \sin\alpha \cdot t;$
$y(t) = v_{0y} t + \frac{a_y t^2}{2} = v_0 \sin\beta \, t - \frac{g \sin\alpha}{2} t^2.$
В момент времени $t$, соответствующий концу движения, $y(t) = 0$ и $x(t) = AB$. Тогда выразим время движения по наклонной плоскости из уравнения движения вдоль оси $y$:
$t = \frac{2 v_0 \sin\beta}{g \sin\alpha}.$
И подставим его в уравнение движения по оси $x$:
$AB = v_0 \cos\beta \cdot \frac{2 v_0 \sin\beta}{g \sin\alpha} = \frac{2 v_0^2 \sin\beta \cos\beta}{g \sin\alpha} = \frac{2 \cdot 2^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{10 \cdot \frac{1}{2}} \approx 0,69$ м.
Ответ:
$AB = \frac{2 v_0^2 \sin\beta \cos\beta}{g \sin\alpha} = \frac{2\sqrt{3}}{5}$ м $\approx 0,69$ м.
$AB = \frac{2 v_0^2 \sin\beta \cos\beta}{g \sin\alpha} = \frac{2\sqrt{3}}{5}$ м $\approx 0,69$ м.