ID: 00004675
С горизонтальной плоскости вначале бросают маленький мячик под углом α = 60° к горизонту со скоростью v = 20 м/с. В момент, когда мячик достигает наивысшего положения на своей траектории, стреляют пулей из ружья со скоростью V = 150 м/с в направлении мячика, причём пуля вылетает из той же точки, из которой был брошен мячик. Под каким углом φ к горизонту надо стрелять, чтобы пуля из ружья попала в мячик?
Трением мячика и пули о воздух можно пренебречь. Указание: для численного решения уравнений используйте микрокалькулятор.
Источник: ФИПИ
$\alpha = 60°$, $v = 20$ м/с (мячик)
$V = 150$ м/с (пуля, из той же точки)
выстрел в момент, когда мячик в наивысшей точке
$g = 10$ м/с$^2$
$\varphi$ — угол выстрела — ?
К моменту выстрела мячик находится в наивысшей точке своей траектории с координатами
$$x_m = \frac{v^2 \sin\alpha\cos\alpha}{g} = 17{,}32 \text{ м}, \qquad y_m = \frac{v^2 \sin^2\alpha}{2g} = 15{,}0 \text{ м},$$
и продолжает лететь горизонтально со скоростью $v\cos\alpha = 10$ м/с. После выстрела и мячик, и пуля движутся в поле тяжести, поэтому в уравнениях по вертикали слагаемые $-\tfrac{1}{2}g\tau^2$ одинаковы и сокращаются. Условие встречи (за время $\tau$ после выстрела):
$$V\sin\varphi\cdot\tau = y_m, \qquad V\cos\varphi\cdot\tau = x_m + v\cos\alpha\cdot\tau.$$
Исключая $\tau$, получаем уравнение на угол $\varphi$:
$$\frac{V\sin\varphi\cdot x_m}{V\cos\varphi - v\cos\alpha} = y_m.$$
Это уравнение решается численно (как указано в условии). Подстановка чисел даёт $\varphi \approx 38{,}4°$ (при этом $\tau \approx 0{,}16$ с, точка встречи $x\approx 18{,}9$ м, $y\approx 14{,}9$ м — обе траектории сходятся).
38,4°