Кинематика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00016049

Смотри, тут два тела, но они «разговаривают» друг с другом только в момент выстрела — до этого мячик летит сам по себе, как обычное тело, брошенное под углом. Поэтому сначала разберёмся, где мячик оказывается к моменту выстрела и с какой скоростью летит именно тогда.

Где мячик в момент выстрела. Стреляют, когда мячик в верхней точке — а там вертикальная скорость всегда равна нулю, остаётся только горизонтальная. Время подъёма к вершине: $t_1=\dfrac{v_0\sin\alpha}{g}=\dfrac{20\cdot\sin60^\circ}{10}=\dfrac{20\cdot0{,}866}{10}\approx1{,}73$ с. За это время мячик сместился по горизонтали на $x_0=v_0\cos\alpha\cdot t_1=20\cdot0{,}5\cdot1{,}73\approx17{,}32$ м и поднялся на $y_0=\dfrac{(v_0\sin\alpha)^2}{2g}=\dfrac{(20\cdot0{,}866)^2}{20}=15$ м. Скорость в этой точке чисто горизонтальна: $u=v_0\cos\alpha=10$ м/с. Вот с этого момента и стартует «часы задачи» — выстрел.

Дальше оба тела падают одинаково. После выстрела и пуля, и мячик находятся в свободном падении с одним и тем же $g$ — а значит, слагаемое $-\dfrac{gt^2}{2}$ у них одинаковое и при сравнении координат по вертикали просто сократится. Это удобно: можно не возиться с параболами, а сравнивать движение так, будто гравитации нет вовсе. Координаты пули (вылетает из начала координат под углом $\varphi$ со скоростью $V=150$ м/с): $x_{\text{п}}=V\cos\varphi\cdot t$, $y_{\text{п}}=V\sin\varphi\cdot t-\dfrac{gt^2}{2}$. Координаты мячика (летит горизонтально со скоростью $u$ и одновременно падает): $x_{\text{м}}=x_0+ut$, $y_{\text{м}}=y_0-\dfrac{gt^2}{2}$.

Условие попадания. Приравниваем координаты в момент встречи $t$. Вертикальные $-\dfrac{gt^2}{2}$ у обоих одинаковые — сокращаются, и остаётся простая система: $$V\cos\varphi\cdot t=x_0+ut,\qquad V\sin\varphi\cdot t=y_0.$$ Из второго уравнения сразу видно время полёта пули: $t=\dfrac{y_0}{V\sin\varphi}$. Подставляем в первое и избавляемся от $t$: $$\left(V\cos\varphi-u\right)\dfrac{y_0}{V\sin\varphi}=x_0\ \Rightarrow\ V\cos\varphi-\dfrac{x_0}{y_0}V\sin\varphi=u.$$ Подставляем числа ($x_0/y_0\approx1{,}1547$, $u=10$ м/с, $V=150$ м/с): $$150\cos\varphi-173{,}2\sin\varphi=10.$$

Решаем уравнение на угол. Уравнение вида $A\cos\varphi+B\sin\varphi=C$ ($A=150$, $B=-173{,}2$, $C=10$) удобно свернуть через вспомогательный угол: $R=\sqrt{A^2+B^2}\approx229{,}1$, $\delta=\mathrm{arctg}\dfrac{B}{A}\approx-49{,}1^\circ$. Тогда уравнение превращается в $R\cos(\varphi-\delta)=C$, откуда $\cos(\varphi-\delta)=\dfrac{10}{229{,}1}\approx0{,}0437$ и $\varphi-\delta\approx\pm87{,}5^\circ$. Физике соответствует корень со знаком плюс — пуля летит вперёд-вверх, а не почти назад: $$\varphi\approx-49{,}1^\circ+87{,}5^\circ\approx38{,}4^\circ.$$ Проверка: при $\varphi=38{,}4^\circ$ левая часть $150\cos38{,}4^\circ-173{,}2\sin38{,}4^\circ\approx117{,}6-107{,}6\approx10$ — сходится.