ID: 00041034
Камень, брошенный с холма высотой 5 метров под каким-то углом к горизонту со скоростью 20 м/с, упал на землю через некоторое время после броска. Под каким углом к горизонту бросили камень, если максимальная высота, на которую он поднимался относительно земли, равна 10 метров? Сопротивление воздуха не учитывать.
Дано:
$h_0 = 5$ м
$v_0 = 20$ м/с
$h_{max} = 10$ м
$g = 10$ м/с$^2$
Найти:
$\alpha$ – ?
Решение:
Запишем уравнение зависимости высоты $h$ подъёма камня от времени $t$:
$h(t) = h_0 + v_{0y} t - \frac{g t^2}{2},$
где $v_{0y} = v_0 \sin\alpha$ – проекция начальной скорости камня на вертикальную ось.
В верхней точке траектории $h_{max}$ в момент времени $t = \tau$ скорость тела по вертикали $v_y$ равна нулю:
$v_y = v_{0y} - g\tau = 0 \Rightarrow \tau = \frac{v_{0y}}{g} = \frac{v_0 \sin\alpha}{g}$
Тогда максимальная высота подъёма:
$h_{max} = h_0 + v_0 \sin\alpha \cdot \tau - \frac{g \tau^2}{2} = h_0 + \frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g}$
Найдём угол $\alpha$:
$\sin^2\alpha = \frac{2g(h_{max} - h_0)}{v_0^2}$
$\alpha = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2g(h_{max} - h_0)}}{v_0}\right) = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2 \cdot 10 \cdot (10 - 5)}}{20}\right) = 30^\circ$
Ответ:
$\alpha = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2g(h_{max} - h_0)}}{v_0}\right) = 30^\circ$
30