ID: 00041033
Наклонная плоскость пересекается с горизонтальной плоскостью по прямой $AB$. Угол между плоскостями $\alpha = 30^\circ$. Маленькая шайба скользит вверх по наклонной плоскости из точки $A$ с начальной скоростью $v_0 = 2$ м/с, направленной под углом $\beta = 60^\circ$ к прямой $AB$. Найдите максимальное расстояние, на которое шайба удалится от прямой $AB$ в ходе подъёма по наклонной плоскости. Трением между шайбой и наклонной плоскостью пренебречь.
Источник: ФИПИ
Дано:
$v_0 = 2$ м/с
$\alpha = 30^\circ$
$\beta = 60^\circ$
$g = 10$ м/с$^2$
Найти:
$h_{max}$ – ?
Решение:
На тело действуют сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$ и сила тяжести $m\vec{g}$.
Запишем второй закон Ньютона:
$\vec{N} + m\vec{g} = m\vec{a}$
В проекции на ось $X$:
$mg \sin\alpha = ma \Rightarrow a = g \sin\alpha$
Движение по наклонной плоскости эквивалентно движению тела, брошенного под углом $\beta$ к горизонту, в поле тяжести с ускорением $a = g \sin\alpha$. Рассмотрим процесс перемещения вдоль наклонной плоскости. Начальная скорость $v_{0x}$ вдоль наклонной плоскости:
$v_{0x} = v_0 \sin\beta$
В момент максимального удаления от прямой $AB$ скорость вдоль наклонной плоскости равна нулю. Тогда:
$-h_{max} = \frac{0^2 - v_{0x}^2}{2a} = -\frac{v_0^2 \sin^2\beta}{2g \sin\alpha}$
Отсюда максимальное расстояние $h_{max}$ от прямой $AB$:
$h_{max} = \frac{v_0^2 \sin^2\beta}{2g \sin\alpha} = \frac{2^2 \cdot \sin^2 60^\circ}{2 \cdot 10 \cdot \sin 30^\circ} = 0,3$ м
Ответ:
$h_{max} = \frac{v_0^2 \sin^2\beta}{2g \sin\alpha} = 0,3$ м
0,3 м