Задание 23 ЕГЭ по физике: Воздушный шар объёмом 2500 м 3 с массой оболочки 400 кг имеет…

Разберёмся, что держит шар в воздухе. Снаружи холодный плотный воздух выталкивает шар вверх по закону Архимеда — с силой, равной весу вытесненного воздуха. Вниз тянет вес оболочки, вес корзины с воздухоплавателем и вес горячего воздуха внутри шара. Горячий воздух лёгкий, поэтому шар и взлетает. Но если снаружи потеплеет, наружный воздух станет разреженнее, выталкивающая сила упадёт — и шар останется на земле. Значит, есть предельная температура снаружи; её и ищем.

Что позволяет связать плотности. Внизу оболочки есть отверстие, поэтому давление внутри шара равно атмосферному — воздух свободно сообщается с окружающим. При одинаковом давлении из уравнения Клапейрона — Менделеева \rho=\dfrac{pM_{\text{возд}}}{RT} следует простое правило: плотность обратно пропорциональна абсолютной температуре, то есть \rho T=\text{const}. Отсюда плотность горячего воздуха внутри \rho_{\text{вн}}=\rho_{0}\frac{T_{0}}{T}, где \rho_{0} и T_{0} — плотность и температура снаружи, а T — температура внутри. Оболочка нерастяжима, поэтому объём V постоянен и одинаков для «вытесненного» и «внутреннего» воздуха.

Шаг 1 — условие взлёта. Архимедова сила должна быть не меньше суммарного веса: \rho_{0}Vg\ \ge\ \left(M+m+\rho_{\text{вн}}V\right)g. Ускорение свободного падения сокращается, и остаётся условие на массы: \rho_{0}V-\rho_{\text{вн}}V\ \ge\ M+m.

Шаг 2 — подставляем связь плотностей: \rho_{0}V\left(1-\frac{T_{0}}{T}\right)\ \ge\ M+m.

Шаг 3 — числа. Масса вытесненного воздуха \rho_{0}V=1{,}2\cdot 2500=3000 кг, суммарная масса груза и оболочки M+m=400+200=600 кг, температура внутри T=77+273=350 К. Получаем 3000\left(1-\frac{T_{0}}{350}\right)\ \ge\ 600\quad\Rightarrow\quad 1-\frac{T_{0}}{350}\ \ge\ 0{,}2\quad\Rightarrow\quad \frac{T_{0}}{350}\ \le\ 0{,}8.

Шаг 4 — предельная температура: T_{0}\ \le\ 0{,}8\cdot 350=280\ \text{К}=280-273=7\ ^\circ\text{С}.

Смысл ответа: подъёмная сила шара — это разница масс вытесненного и внутреннего воздуха, и она должна покрыть 600 кг груза, то есть пятую часть от трёх тонн вытесненного воздуха. Внутренний воздух обязан быть легче наружного на эту самую пятую часть, а по правилу \rho T=\text{const} это и означает, что температуры относятся как 0{,}8. Летать на тепловом аэростате комфортнее в прохладную погоду — теперь ты знаешь, почему полёты обычно назначают на раннее утро.