ID: 00026483
Воздушный шар объёмом 2500 м 3 с массой оболочки 400 кг имеет внизу отверстие, через которое воздух в шаре нагревается горелкой до температуры 77 °С. Какой должна быть максимальная температура окружающего воздуха плотностью 1,2 кг/м 3 , чтобы шар взлетел вместе с грузом (корзиной и воздухоплавателем) массой 200 кг? Оболочку шара считать нерастяжимой.
Источник: ФИПИ
Разберёмся, что держит шар в воздухе. Снаружи холодный плотный воздух выталкивает шар вверх по закону Архимеда — с силой, равной весу вытесненного воздуха. Вниз тянет вес оболочки, вес корзины с воздухоплавателем и вес горячего воздуха внутри шара. Горячий воздух лёгкий, поэтому шар и взлетает. Но если снаружи потеплеет, наружный воздух станет разреженнее, выталкивающая сила упадёт — и шар останется на земле. Значит, есть предельная температура снаружи; её и ищем.
Что позволяет связать плотности. Внизу оболочки есть отверстие, поэтому давление внутри шара равно атмосферному — воздух свободно сообщается с окружающим. При одинаковом давлении из уравнения Клапейрона — Менделеева $\rho=\dfrac{pM_{\text{возд}}}{RT}$ следует простое правило: плотность обратно пропорциональна абсолютной температуре, то есть $\rho T=\text{const}$. Отсюда плотность горячего воздуха внутри $$\rho_{\text{вн}}=\rho_{0}\frac{T_{0}}{T},$$ где $\rho_{0}$ и $T_{0}$ — плотность и температура снаружи, а $T$ — температура внутри. Оболочка нерастяжима, поэтому объём $V$ постоянен и одинаков для «вытесненного» и «внутреннего» воздуха.
Шаг 1 — условие взлёта. Архимедова сила должна быть не меньше суммарного веса: $$\rho_{0}Vg\ \ge\ \left(M+m+\rho_{\text{вн}}V\right)g.$$ Ускорение свободного падения сокращается, и остаётся условие на массы: $$\rho_{0}V-\rho_{\text{вн}}V\ \ge\ M+m.$$
Шаг 2 — подставляем связь плотностей: $$\rho_{0}V\left(1-\frac{T_{0}}{T}\right)\ \ge\ M+m.$$
Шаг 3 — числа. Масса вытесненного воздуха $\rho_{0}V=1{,}2\cdot 2500=3000$ кг, суммарная масса груза и оболочки $M+m=400+200=600$ кг, температура внутри $T=77+273=350$ К. Получаем $$3000\left(1-\frac{T_{0}}{350}\right)\ \ge\ 600\quad\Rightarrow\quad 1-\frac{T_{0}}{350}\ \ge\ 0{,}2\quad\Rightarrow\quad \frac{T_{0}}{350}\ \le\ 0{,}8.$$
Шаг 4 — предельная температура: $$T_{0}\ \le\ 0{,}8\cdot 350=280\ \text{К}=280-273=7\ ^\circ\text{С}.$$
Смысл ответа: подъёмная сила шара — это разница масс вытесненного и внутреннего воздуха, и она должна покрыть $600$ кг груза, то есть пятую часть от трёх тонн вытесненного воздуха. Внутренний воздух обязан быть легче наружного на эту самую пятую часть, а по правилу $\rho T=\text{const}$ это и означает, что температуры относятся как $0{,}8$. Летать на тепловом аэростате комфортнее в прохладную погоду — теперь ты знаешь, почему полёты обычно назначают на раннее утро.
$T_{0}\le T\left(1-\dfrac{M+m}{\rho_{0}V}\right)=280$ К, то есть максимум $7\ ^\circ$С.