МКТ — Задание 23 ЕГЭ по физике №00026486

Посмотрим на рисунок и опишем ситуацию словами: оболочка, наполненная горячим воздухом при $265\ ^\circ$С, снизу открыта, под ней горелка, а вокруг — холодный воздух при искомой температуре $t_{0}$. Шар полетит, если выталкивающая сила окружающего воздуха превысит суммарный вес оболочки и горячего воздуха внутри. Чем холоднее снаружи, тем плотнее наружный воздух и тем сильнее он выталкивает; значит, у температуры окружающего воздуха есть верхняя граница — при более тёплой погоде шар уже не поднимется.

Особенность этой задачи в том, что плотность наружного воздуха не дана — её саму придётся выразить через искомую температуру. Отверстие внизу выравнивает давление: и внутри, и снаружи оно равно нормальному атмосферному $p=10^{5}$ Па. Тогда по уравнению Клапейрона — Менделеева плотность воздуха $$\rho=\frac{pM_{\text{возд}}}{RT},$$ где $M_{\text{возд}}=0{,}029$ кг/моль — молярная масса воздуха. Снаружи в этой формуле стоит $T_{0}$, внутри — $T=265+273=538$ К.

Шаг 1 — условие подъёма (закон Архимеда): $$\rho_{0}Vg\ \ge\ Mg+\rho_{\text{вн}}Vg\quad\Rightarrow\quad \left(\rho_{0}-\rho_{\text{вн}}\right)V\ \ge\ M.$$ Словами: разность масс вытесненного и внутреннего воздуха должна покрыть массу оболочки.

Шаг 2 — подставляем плотности: $$\frac{pM_{\text{возд}}V}{R}\left(\frac{1}{T_{0}}-\frac{1}{T}\right)\ \ge\ M.$$ Обрати внимание на структуру: неизвестное сидит в виде $\dfrac{1}{T_{0}}$, поэтому решать удобно именно относительно обратной температуры.

Шаг 3 — считаем коэффициент перед скобкой: $$\frac{pM_{\text{возд}}V}{R}=\frac{10^{5}\cdot 0{,}029\cdot 230}{8{,}31}=\frac{6{,}67\cdot10^{5}}{8{,}31}\approx 8{,}03\cdot10^{4}\ \text{кг}\cdot\text{К}.$$

Шаг 4 — находим $\dfrac{1}{T_{0}}$: $$\frac{1}{T_{0}}-\frac{1}{538}\ \ge\ \frac{145}{8{,}03\cdot10^{4}}\approx 1{,}81\cdot10^{-3},$$ $$\frac{1}{T_{0}}\ \ge\ 1{,}81\cdot10^{-3}+1{,}86\cdot10^{-3}=3{,}67\cdot10^{-3}.$$

Шаг 5 — переворачиваем. Чем больше $\dfrac{1}{T_{0}}$, тем меньше $T_{0}$, поэтому неравенство разворачивается: $$T_{0}\ \le\ \frac{1}{3{,}67\cdot10^{-3}}\approx 273\ \text{К},$$ то есть $t_{0}\approx 0\ ^\circ$С.

Проверим ответ прикидкой. При $T_{0}=273$ К плотность наружного воздуха $\rho_{0}=\dfrac{10^{5}\cdot0{,}029}{8{,}31\cdot 273}\approx 1{,}28$ кг/м³, а внутреннего — $\dfrac{10^{5}\cdot0{,}029}{8{,}31\cdot 538}\approx 0{,}65$ кг/м³. Разность $0{,}63$ кг/м³, умноженная на $230$ м³, даёт как раз около $145$ кг — ровно масса оболочки. Всё сходится: такой шар поднимается только в мороз или нулевую погоду, а летом ему пришлось бы греть воздух ещё сильнее.