Задание 23 ЕГЭ по физике: Воздушный шар, оболочка которого имеет массу М = 145 кг и объём…

Посмотрим на рисунок и опишем ситуацию словами: оболочка, наполненная горячим воздухом при 265\ ^\circС, снизу открыта, под ней горелка, а вокруг — холодный воздух при искомой температуре t_{0}. Шар полетит, если выталкивающая сила окружающего воздуха превысит суммарный вес оболочки и горячего воздуха внутри. Чем холоднее снаружи, тем плотнее наружный воздух и тем сильнее он выталкивает; значит, у температуры окружающего воздуха есть верхняя граница — при более тёплой погоде шар уже не поднимется.

Особенность этой задачи в том, что плотность наружного воздуха не дана — её саму придётся выразить через искомую температуру. Отверстие внизу выравнивает давление: и внутри, и снаружи оно равно нормальному атмосферному p=10^{5} Па. Тогда по уравнению Клапейрона — Менделеева плотность воздуха \rho=\frac{pM_{\text{возд}}}{RT}, где M_{\text{возд}}=0{,}029 кг/моль — молярная масса воздуха. Снаружи в этой формуле стоит T_{0}, внутри — T=265+273=538 К.

Шаг 1 — условие подъёма (закон Архимеда): \rho_{0}Vg\ \ge\ Mg+\rho_{\text{вн}}Vg\quad\Rightarrow\quad \left(\rho_{0}-\rho_{\text{вн}}\right)V\ \ge\ M. Словами: разность масс вытесненного и внутреннего воздуха должна покрыть массу оболочки.

Шаг 2 — подставляем плотности: \frac{pM_{\text{возд}}V}{R}\left(\frac{1}{T_{0}}-\frac{1}{T}\right)\ \ge\ M. Обрати внимание на структуру: неизвестное сидит в виде \dfrac{1}{T_{0}}, поэтому решать удобно именно относительно обратной температуры.

Шаг 3 — считаем коэффициент перед скобкой: \frac{pM_{\text{возд}}V}{R}=\frac{10^{5}\cdot 0{,}029\cdot 230}{8{,}31}=\frac{6{,}67\cdot10^{5}}{8{,}31}\approx 8{,}03\cdot10^{4}\ \text{кг}\cdot\text{К}.

Шаг 4 — находим \dfrac{1}{T_{0}}: \frac{1}{T_{0}}-\frac{1}{538}\ \ge\ \frac{145}{8{,}03\cdot10^{4}}\approx 1{,}81\cdot10^{-3}, \frac{1}{T_{0}}\ \ge\ 1{,}81\cdot10^{-3}+1{,}86\cdot10^{-3}=3{,}67\cdot10^{-3}.

Шаг 5 — переворачиваем. Чем больше \dfrac{1}{T_{0}}, тем меньше T_{0}, поэтому неравенство разворачивается: T_{0}\ \le\ \frac{1}{3{,}67\cdot10^{-3}}\approx 273\ \text{К}, то есть t_{0}\approx 0\ ^\circС.

Проверим ответ прикидкой. При T_{0}=273 К плотность наружного воздуха \rho_{0}=\dfrac{10^{5}\cdot0{,}029}{8{,}31\cdot 273}\approx 1{,}28 кг/м³, а внутреннего — \dfrac{10^{5}\cdot0{,}029}{8{,}31\cdot 538}\approx 0{,}65 кг/м³. Разность 0{,}63 кг/м³, умноженная на 230 м³, даёт как раз около 145 кг — ровно масса оболочки. Всё сходится: такой шар поднимается только в мороз или нулевую погоду, а летом ему пришлось бы греть воздух ещё сильнее.