Задание 23 ЕГЭ по физике: В запаянной с одного конца стеклянной трубке, расположенной…

Устроим ревизию рисунков. На первом трубка лежит горизонтально: у запаянного конца сидит воздух длиной l_1=30{,}7 см, а «пробкой» служит столбик ртути длиной l. На втором трубка поставлена вертикально отверстием вниз — запаянный конец оказался сверху, воздух сверху, ртуть под ним. Воздушный столбик стал длиннее (l_2=43{,}2 см), то есть газ расширился. Раз газ расширился при неизменной температуре, значит давление его упало — и виновата в этом висящая снизу ртуть.

Шаг 1 — давление в горизонтальном положении. Пока трубка лежит, ртуть не давит на воздух своим весом: её вес направлен вниз, поперёк трубки, и передаётся стеклу. Столбик просто передаёт атмосферное давление насквозь:

p_1 = H = 747\ \text{мм рт. ст.}

Шаг 2 — давление в вертикальном положении. Теперь ртуть висит под запертым воздухом. Снизу на неё давит атмосфера (H), сверху — запертый воздух (p_2), а сама она тянет вниз своим весом, который в «ртутных» единицах равен как раз длине столбика l. Условие равновесия столбика ртути даёт

p_2 + l = H \quad\Rightarrow\quad p_2 = H - l.

Проще говоря: воздуху «помогает» вес ртути, поэтому он может держать меньшее давление — и он действительно расширился, как и видно на рисунке.

Шаг 3 — закон Бойля–Мариотта. Температура постоянна, масса запертого воздуха не меняется, значит произведение давления на объём постоянно. Сечение трубки везде одинаковое, поэтому объём пропорционален длине столбика, и вместо объёмов можно писать длины:

p_1 l_1 = p_2 l_2 \quad\Rightarrow\quad H l_1 = (H - l)\,l_2.

Шаг 4 — считаем. Оставим давления в миллиметрах ртутного столба, а длины — в сантиметрах: единицы в обеих частях одинаковые, поэтому переводить ничего не нужно.

H - l = \frac{H l_1}{l_2} = \frac{747\cdot 30{,}7}{43{,}2} = \frac{22\,932{,}9}{43{,}2} \approx 530{,}9\ \text{мм рт. ст.}

l = 747 - 530{,}9 \approx 216\ \text{мм рт. ст.}

А теперь важный момент: длина столбика ртути, выраженная в миллиметрах ртутного столба, численно равна его длине в миллиметрах. Значит,

l \approx 216\ \text{мм} = 21{,}6\ \text{см}.

Проверим: 530{,}9\cdot43{,}2 = 22\,935, а 747\cdot30{,}7=22\,933 — совпало с точностью до округления.

Почему такая модель применима. Воздух в трубке — постоянная порция идеального газа при постоянной температуре, поэтому работает закон Бойля–Мариотта (частный случай уравнения Менделеева–Клапейрона при T=\mathrm{const} и \nu=\mathrm{const}). Давление запертого газа мы находим из условия равновесия ртутного столбика — это второй закон Ньютона при нулевом ускорении вместе с законом Паскаля: жидкость передаёт давление во все стороны одинаково, а разность давлений на концах вертикального столбика равна его гидростатическому давлению \rho g l. Единицы «мм рт. ст.» удобны именно тем, что гидростатическое давление столбика ртути в них численно равно его высоте, поэтому переход к паскалям не нужен. И ещё: сечение трубки постоянно, только поэтому отношение объёмов можно заменить отношением длин.