ID: 00026496
В запаянной с одного конца стеклянной трубке, расположенной горизонтально, находится столбик воздуха длиной $l_{1} =30,7$ см, запертый столбиком ртути (рисунок 1). Если трубку закрепить вертикально отверстием вниз, то длина воздушного столбика над ртутью будет равна $l_{2} =43,2$ см (рисунок 2). Какова длина l ртутного столбика? Атмосферное давление 747 мм рт. ст. Температуру воздуха в трубке считать постоянной.
Источник: ФИПИ
Устроим ревизию рисунков. На первом трубка лежит горизонтально: у запаянного конца сидит воздух длиной $l_1=30{,}7$ см, а «пробкой» служит столбик ртути длиной $l$. На втором трубка поставлена вертикально отверстием вниз — запаянный конец оказался сверху, воздух сверху, ртуть под ним. Воздушный столбик стал длиннее ($l_2=43{,}2$ см), то есть газ расширился. Раз газ расширился при неизменной температуре, значит давление его упало — и виновата в этом висящая снизу ртуть.
Шаг 1 — давление в горизонтальном положении. Пока трубка лежит, ртуть не давит на воздух своим весом: её вес направлен вниз, поперёк трубки, и передаётся стеклу. Столбик просто передаёт атмосферное давление насквозь:
$$p_1 = H = 747\ \text{мм рт. ст.}$$
Шаг 2 — давление в вертикальном положении. Теперь ртуть висит под запертым воздухом. Снизу на неё давит атмосфера ($H$), сверху — запертый воздух ($p_2$), а сама она тянет вниз своим весом, который в «ртутных» единицах равен как раз длине столбика $l$. Условие равновесия столбика ртути даёт
$$p_2 + l = H \quad\Rightarrow\quad p_2 = H - l.$$
Проще говоря: воздуху «помогает» вес ртути, поэтому он может держать меньшее давление — и он действительно расширился, как и видно на рисунке.
Шаг 3 — закон Бойля–Мариотта. Температура постоянна, масса запертого воздуха не меняется, значит произведение давления на объём постоянно. Сечение трубки везде одинаковое, поэтому объём пропорционален длине столбика, и вместо объёмов можно писать длины:
$$p_1 l_1 = p_2 l_2 \quad\Rightarrow\quad H l_1 = (H - l)\,l_2.$$
Шаг 4 — считаем. Оставим давления в миллиметрах ртутного столба, а длины — в сантиметрах: единицы в обеих частях одинаковые, поэтому переводить ничего не нужно.
$$H - l = \frac{H l_1}{l_2} = \frac{747\cdot 30{,}7}{43{,}2} = \frac{22\,932{,}9}{43{,}2} \approx 530{,}9\ \text{мм рт. ст.}$$
$$l = 747 - 530{,}9 \approx 216\ \text{мм рт. ст.}$$
А теперь важный момент: длина столбика ртути, выраженная в миллиметрах ртутного столба, численно равна его длине в миллиметрах. Значит,
$$l \approx 216\ \text{мм} = 21{,}6\ \text{см}.$$
Проверим: $530{,}9\cdot43{,}2 = 22\,935$, а $747\cdot30{,}7=22\,933$ — совпало с точностью до округления.
Почему такая модель применима. Воздух в трубке — постоянная порция идеального газа при постоянной температуре, поэтому работает закон Бойля–Мариотта (частный случай уравнения Менделеева–Клапейрона при $T=\mathrm{const}$ и $\nu=\mathrm{const}$). Давление запертого газа мы находим из условия равновесия ртутного столбика — это второй закон Ньютона при нулевом ускорении вместе с законом Паскаля: жидкость передаёт давление во все стороны одинаково, а разность давлений на концах вертикального столбика равна его гидростатическому давлению $\rho g l$. Единицы «мм рт. ст.» удобны именно тем, что гидростатическое давление столбика ртути в них численно равно его высоте, поэтому переход к паскалям не нужен. И ещё: сечение трубки постоянно, только поэтому отношение объёмов можно заменить отношением длин.