ID: 00026491
Для того чтобы совершить воздушный полёт, бесстрашный изобретатель, масса которого 60 кг, решил использовать 5000 воздушных шаров, наполненных гелием. До какого объёма необходимо надувать гелием каждый шар, чтобы изобретатель смог подняться в воздух при нормальном атмосферном давлении? Температура окружающего воздуха равна 27 °C. Массой оболочек шаров и их упругостью, а также силой Архимеда, действующей на изобретателя, пренебречь.
Источник: ФИПИ
Шарик с гелием тянет вверх потому, что вытесненный им воздух тяжелее самого гелия. Значит, вся задача — про сравнение двух масс: массы воздуха, который занимал бы объём шаров, и массы гелия внутри них. Разница этих масс и есть тот «запас подъёмной силы», которого должно хватить на изобретателя в $60$ кг.
Шаг 1 — условие подъёма. Пусть $V$ — суммарный объём всех шаров, $\rho_{\text{в}}$ — плотность окружающего воздуха, $\rho_{\text{Не}}$ — плотность гелия, $M=60$ кг — масса изобретателя. Сила Архимеда $\rho_{\text{в}} g V$ должна поднять и человека, и сам гелий (оболочками нам велено пренебречь):
$$\rho_{\text{в}} g V = M g + \rho_{\text{Не}} g V.$$
Ускорение свободного падения $g$ сокращается — как всегда бывает в задачах на плавание. Остаётся
$$V(\rho_{\text{в}} - \rho_{\text{Не}}) = M.$$
Шаг 2 — плотности через уравнение состояния. И воздух, и гелий — идеальные газы при одинаковых давлении $p$ и температуре $T$. Из уравнения Менделеева–Клапейрона $pV=\dfrac{m}{\mu}RT$ сразу следует выражение для плотности:
$$\rho = \frac{m}{V} = \frac{p\mu}{RT}.$$
Молярная масса воздуха $\mu_{\text{в}}=0{,}029$ кг/моль, гелия $\mu_{\text{Не}}=0{,}004$ кг/моль. Тогда разность плотностей получается очень аккуратной:
$$\rho_{\text{в}} - \rho_{\text{Не}} = \frac{p(\mu_{\text{в}} - \mu_{\text{Не}})}{RT}.$$
Шаг 3 — общий объём. Подставляем в условие подъёма и выражаем $V$:
$$V = \frac{M R T}{p(\mu_{\text{в}} - \mu_{\text{Не}})}.$$
Температура $27\,^\circ$С — это $T=300$ К, нормальное атмосферное давление $p=10^{5}$ Па, разность молярных масс $0{,}029-0{,}004=0{,}025$ кг/моль. Считаем:
$$V = \frac{60\cdot 8{,}31\cdot 300}{10^{5}\cdot 0{,}025} = \frac{149\,580}{2500} \approx 59{,}8\ \text{м}^3.$$
Шаг 4 — на один шар. Шаров $N=5000$, значит
$$V_1 = \frac{V}{N} = \frac{59{,}8}{5000} \approx 0{,}012\ \text{м}^3.$$
Это примерно $12$ литров — шарик диаметром около $28$ см, вполне обычный праздничный. И всё сходится: пять тысяч таких шаров дают почти $60$ м³ вытесненного воздуха, а каждый кубометр воздуха «переигрывает» кубометр гелия примерно на килограмм — как раз $60$ кг подъёмной силы.
Почему такая модель законна. Гелий и воздух здесь — разреженные газы при обычных условиях, поэтому к обоим применимо уравнение состояния идеального газа (Менделеева–Клапейрона), из которого и берутся плотности. Условие «шар начнёт подниматься» — это условие равновесия на границе взлёта: архимедова сила равна суммарной силе тяжести, то есть закон Архимеда плюс второй закон Ньютона при нулевом ускорении. Оболочка нерастяжимая упругость не создаёт, значит давление гелия внутри равно атмосферному, и температура гелия равна температуре окружающего воздуха — только поэтому мы имеем право подставлять в обе плотности одни и те же $p$ и $T$.