ID: 00026790
Сосуд разделён тонкой перегородкой на две части, отношение объёмов которых $\dfrac{V_{2}}{V_{1}}=3.$ В первой части сосуда находится воздух с относительной влажностью $\varphi_{1}=80\%$. Какой была влажность воздуха во второй части сосуда, если после того, как перегородку убрали, в сосуде установилась относительная влажность 50%? Считать, что температура воздуха в частях сосуда одинакова и не изменилась после снятия перегородки.
Источник: ФИПИ
Что происходит по сюжету: в сосуде стоит перегородка, слева объём $V_1$ с влажностью $80\%$, справа втрое больший объём $V_2=3V_1$ с неизвестной влажностью $\varphi_2$. Перегородку убирают, пар из обеих половин перемешивается по всему сосуду, и итоговая влажность оказывается $50\%$. Надо восстановить, какой была влажность справа.
Шаг 1 — переводим проценты в давления. Относительная влажность — это отношение парциального давления водяного пара к давлению насыщенного пара при той же температуре: $\varphi=\dfrac{p}{p_{н}}$. Температура везде одна и та же, значит и $p_{н}$ одно и то же. Тогда в первой части пар создаёт давление $p_1=\varphi_1 p_{н}$, во второй — $p_2=\varphi_2 p_{н}$, а в конце по всему сосуду $p=0{,}5\,p_{н}$.
Шаг 2 — что происходит с паром при снятии перегородки. Каждая порция пара расширяется на весь сосуд объёмом $V_1+V_2=4V_1$ при неизменной температуре. Для изотермического расширения работает закон Бойля — Мариотта: произведение давления на объём постоянно. Значит, пар из первой части даёт в общем сосуде парциальное давление $\dfrac{p_1V_1}{V_1+V_2}$, а пар из второй — $\dfrac{p_2V_2}{V_1+V_2}$.
Шаг 3 — складываем по закону Дальтона. Давление смеси газов равно сумме парциальных давлений её компонентов, поэтому итоговое давление пара: $$p=\dfrac{p_1V_1+p_2V_2}{V_1+V_2}.$$ Подставим сюда влажности и сократим общий множитель $p_{н}$: $$0{,}5=\dfrac{\varphi_1V_1+\varphi_2\cdot 3V_1}{4V_1}=\dfrac{\varphi_1+3\varphi_2}{4}.$$
Шаг 4 — считаем. Умножаем на $4$: $\varphi_1+3\varphi_2=2$. Подставляем $\varphi_1=0{,}8$: $$3\varphi_2=2-0{,}8=1{,}2\quad\Rightarrow\quad \varphi_2=0{,}4=40\%.$$
Проверка на смысл: итоговая влажность $50\%$ — это средневзвешенное значение $80\%$ и $40\%$ с весами $1$ и $3$ (по объёмам): $\dfrac{1\cdot 80+3\cdot 40}{4}=\dfrac{80+120}{4}=50$. Сходится. И раз бóльшая часть сосуда была суше, итог и оказался ближе к $40\%$, чем к $80\%$.
Почему такая модель. Водяной пар считаем идеальным газом: его давление невелико, а влажность нигде не доходит до $100\%$, значит конденсации нет и вся вода остаётся паром — только поэтому можно пользоваться газовыми законами. Температура постоянна, поэтому для каждой порции пара применим закон Бойля — Мариотта $pV=\text{const}$, а суммарное давление находим по закону Дальтона: компоненты смеси не мешают друг другу, их парциальные давления просто складываются. Наконец, давление насыщенного пара зависит только от температуры, а она не менялась, — поэтому $p_{н}$ благополучно сократилось и числовые значения таблиц нам не понадобились.