ID: 00026790
Сосуд разделён тонкой перегородкой на две части, отношение объёмов которых \dfrac{V_{2}}{V_{1}}=3. В первой части сосуда находится воздух с относительной влажностью \varphi_{1}=80\%. Какой была влажность воздуха во второй части сосуда, если после того, как перегородку убрали, в сосуде установилась относительная влажность 50%? Считать, что температура воздуха в частях сосуда одинакова и не изменилась после снятия перегородки.
Источник: ФИПИ
Что происходит по сюжету: в сосуде стоит перегородка, слева объём V_1 с влажностью 80\%, справа втрое больший объём V_2=3V_1 с неизвестной влажностью \varphi_2. Перегородку убирают, пар из обеих половин перемешивается по всему сосуду, и итоговая влажность оказывается 50\%. Надо восстановить, какой была влажность справа.
Шаг 1 — переводим проценты в давления. Относительная влажность — это отношение парциального давления водяного пара к давлению насыщенного пара при той же температуре: \varphi=\dfrac{p}{p_{н}}. Температура везде одна и та же, значит и p_{н} одно и то же. Тогда в первой части пар создаёт давление p_1=\varphi_1 p_{н}, во второй — p_2=\varphi_2 p_{н}, а в конце по всему сосуду p=0{,}5\,p_{н}.
Шаг 2 — что происходит с паром при снятии перегородки. Каждая порция пара расширяется на весь сосуд объёмом V_1+V_2=4V_1 при неизменной температуре. Для изотермического расширения работает закон Бойля — Мариотта: произведение давления на объём постоянно. Значит, пар из первой части даёт в общем сосуде парциальное давление \dfrac{p_1V_1}{V_1+V_2}, а пар из второй — \dfrac{p_2V_2}{V_1+V_2}.
Шаг 3 — складываем по закону Дальтона. Давление смеси газов равно сумме парциальных давлений её компонентов, поэтому итоговое давление пара: p=\dfrac{p_1V_1+p_2V_2}{V_1+V_2}. Подставим сюда влажности и сократим общий множитель p_{н}: 0{,}5=\dfrac{\varphi_1V_1+\varphi_2\cdot 3V_1}{4V_1}=\dfrac{\varphi_1+3\varphi_2}{4}.
Шаг 4 — считаем. Умножаем на 4: \varphi_1+3\varphi_2=2. Подставляем \varphi_1=0{,}8: 3\varphi_2=2-0{,}8=1{,}2\quad\Rightarrow\quad \varphi_2=0{,}4=40\%.
Проверка на смысл: итоговая влажность 50\% — это средневзвешенное значение 80\% и 40\% с весами 1 и 3 (по объёмам): \dfrac{1\cdot 80+3\cdot 40}{4}=\dfrac{80+120}{4}=50. Сходится. И раз бóльшая часть сосуда была суше, итог и оказался ближе к 40\%, чем к 80\%.
Почему такая модель. Водяной пар считаем идеальным газом: его давление невелико, а влажность нигде не доходит до 100\%, значит конденсации нет и вся вода остаётся паром — только поэтому можно пользоваться газовыми законами. Температура постоянна, поэтому для каждой порции пара применим закон Бойля — Мариотта pV=\text{const}, а суммарное давление находим по закону Дальтона: компоненты смеси не мешают друг другу, их парциальные давления просто складываются. Наконец, давление насыщенного пара зависит только от температуры, а она не менялась, — поэтому p_{н} благополучно сократилось и числовые значения таблиц нам не понадобились.