ID: 00026528
Сосуд разделён перегородкой на две части. Объём первой части $V_{1}$ = 2 л, объём второй части $V_{2}$ = 3 л. В первой части сосуда находятся влажный воздух и вода, причём масса водяного пара в 2 раза больше, чем масса воды. Вторая часть сосуда пустая. Найдите относительную влажность воздуха в сосуде после снятия перегородки. Температура воздуха в сосуде постоянна и не меняется при снятии перегородки. Объёмом перегородки пренебречь.
Источник: ФИПИ
Что мы имеем. В левой части сосуда объёмом $V_1=2$ л есть вода и влажный воздух над ней, а правая часть объёмом $V_2=3$ л пуста. Раз в первой части присутствует жидкая вода, пар над ней обязательно насыщенный — иначе вода продолжала бы испаряться, пока пар не насытится. Значит, начальное давление пара равно $p_{н}$, а масса пара и масса воды связаны условием: пара вдвое больше, чем воды.
Шаг 1 — обозначим массы. Пусть масса пара в начале равна $m_{п}$, тогда масса жидкой воды $m_{в}=\dfrac{m_{п}}{2}$. Общее количество воды в сосуде (в любом виде) равно $$m=m_{п}+m_{в}=1{,}5\,m_{п}.$$ Эта величина никуда не денется — вода не может исчезнуть, она только переходит из жидкости в пар и обратно.
Шаг 2 — выразим $m_{п}$ через давление. Пар считаем идеальным газом, тогда по уравнению Менделеева — Клапейрона $$m_{п}=\dfrac{p_{н}V_1M}{RT},$$ где $M$ — молярная масса воды, $T$ — температура опыта.
Шаг 3 — предположим, что вся вода испарилась. После снятия перегородки объём вырос до $V=V_1+V_2=5$ л. Если бы весь запас воды $1{,}5\,m_{п}$ оказался паром, он создавал бы давление $$p=\dfrac{1{,}5\,m_{п}RT}{MV}=1{,}5\,p_{н}\dfrac{V_1}{V_1+V_2}=1{,}5\,p_{н}\cdot\dfrac{2}{5}=0{,}6\,p_{н}.$$
Шаг 4 — проверяем предположение. Получилось $0{,}6\,p_{н}$, что меньше $p_{н}$. Это и есть проверка на непротиворечивость: раз найденное давление не превышает давления насыщенного пара, конденсации нет, и вся вода действительно испарилась. (Если бы вышло больше $p_{н}$, ответ был бы другим: пар остался бы насыщенным, и влажность равнялась бы $100\%$.)
Шаг 5 — влажность. По определению относительная влажность равна отношению давления пара к давлению насыщенного пара при той же температуре: $$\varphi=\dfrac{p}{p_{н}}=0{,}6=60\%.$$
Обрати внимание на изящество: ни температура, ни табличное значение $p_{н}$, ни молярная масса в ответ не вошли — они сократились. Всё определилось двумя вещами: отношением объёмов и отношением масс пара и воды.
Почему такая модель. Наличие жидкости в контакте с паром означает динамическое равновесие «испарение — конденсация», а пар в таком равновесии по определению насыщенный; его давление зависит только от температуры, поэтому оно и не изменилось бы, пока вода есть. Пар считаем идеальным газом, что позволяет применить уравнение Менделеева — Клапейрона и связать массу с давлением и объёмом. Масса воды в замкнутом сосуде сохраняется — это закон сохранения вещества, и именно он позволяет пересчитать «пар плюс жидкость» в «весь пар». Наконец, обязательный шаг любой задачи на влажность — проверка, не превышает ли расчётное давление насыщенного значения: физически пар выше $p_{н}$ существовать не может.