ID: 00026524
В комнате при 20 °С относительная влажность воздуха составляет 40%.
В состоянии покоя через лёгкие человека проходит 5 л воздуха за 1 мин. Выдыхаемый воздух имеет температуру 34 °С и относительную влажность 100%. Давление насыщенного водяного пара при 20 °С равно 2,34 кПа, а при 34 °С – 5,32 кПа. Какое количество воды теряет тело человека за 1 ч за счёт дыхания? Считать, что выдыхаемый воздух имеет такой же объём, какой проходит через лёгкие человека. Влажность воздуха в комнате не изменяется.
Источник: ФИПИ
Смысл задачи проще, чем кажется. Воздух, который человек выдыхает, всегда влажнее вдыхаемого: организм подогревает его до $34$ °C и насыщает влагой до $100\%$. Вода на это увлажнение берётся из тела. Значит, потеря за час — это разница между количеством воды, унесённой выдохом, и тем, что пришло с вдохом.
Шаг 1 — считать будем через плотность пара. Удобно ввести величину «сколько граммов водяного пара приходится на кубометр воздуха» — это абсолютная влажность, то есть плотность пара. Из уравнения Менделеева — Клапейрона $pV=\dfrac{m}{M}RT$ сразу следует $$\rho=\dfrac{m}{V}=\dfrac{pM}{RT},$$ где $M=0{,}018$ кг/моль — молярная масса воды.
Шаг 2 — вдыхаемый воздух. Комнатная температура $T_1=20+273=293$ К, влажность $40\%$. Относительная влажность — это отношение давления пара к давлению насыщенного пара при той же температуре, поэтому $$p_1=\varphi_1p_{н1}=0{,}4\cdot 2340=936\ \text{Па},$$ и плотность пара $$\rho_1=\dfrac{936\cdot 0{,}018}{8{,}31\cdot 293}=\dfrac{16{,}85}{2435}\approx 0{,}0069\ \text{кг/м}^3.$$
Шаг 3 — выдыхаемый воздух. Температура $T_2=34+273=307$ К, влажность $100\%$, значит пар насыщенный и его давление равно табличному: $p_2=5320$ Па. Тогда $$\rho_2=\dfrac{5320\cdot 0{,}018}{8{,}31\cdot 307}=\dfrac{95{,}76}{2551}\approx 0{,}0375\ \text{кг/м}^3.$$ Видно, что выдыхаемый воздух несёт в себе воды примерно в пять с половиной раз больше — и по влажности, и потому, что он теплее.
Шаг 4 — объём за час. Через лёгкие проходит $5$ л в минуту, за час это $$V=5\cdot 60=300\ \text{л}=0{,}3\ \text{м}^3,$$ и по условию столько же воздуха выдыхается.
Шаг 5 — потеря воды. Умножаем разность плотностей на объём: $$\Delta m=(\rho_2-\rho_1)V=(0{,}0375-0{,}0069)\cdot 0{,}3=0{,}0306\cdot 0{,}3\approx 0{,}0092\ \text{кг}\approx 9{,}2\ \text{г}.$$
Оценим правдоподобие: около девяти граммов в час в покое — примерно два глотка воды. За сутки набежит больше двухсот граммов, и это только на дыхание, без учёта пота. Врачи такие потери называют неощутимыми — их не замечаешь, но в водном балансе они есть.
Почему такая модель. Водяной пар в воздухе разрежен, поэтому его считаем идеальным газом и применяем уравнение Менделеева — Клапейрона. По закону Дальтона пар создаёт своё парциальное давление независимо от азота и кислорода — благодаря этому можно вообще не думать об остальном составе воздуха. Определение относительной влажности $\varphi=\dfrac{p}{p_{н}}$ переводит проценты в давление, а «$100\%$» означает, что выдыхаемый пар насыщен и его давление равно табличному значению при $34$ °C. Условие о неизменной влажности в комнате гарантирует, что все вдохи за час одинаковы, и можно считать сразу для часового объёма.