Задание 24 ЕГЭ по физике: Влажный воздух находится в вертикальном гладком цилиндрическом…

Что происходит в сосуде. Под невесомым поршнем заперт влажный воздух — смесь сухого воздуха и водяного пара. Поршень невесом и стенки гладкие, поэтому вначале давление внутри в точности равно наружному: p_1=p_0. Затем на поршень медленно сыплют песок, поршень опускается, смесь сжимается, и в какой-то момент на стенках выступает роса — это значит, что пар наконец стал насыщенным и начал конденсироваться. Случилось это ровно тогда, когда масса песка достигла m.

Шаг 1 — давления в начале. Обозначим начальное парциальное давление пара p_{п}, сухого воздуха — p_{в}. По закону Дальтона их сумма равна полному давлению: p_{п}+p_{в}=p_0. По определению влажности p_{п}=\varphi p_{н}, где p_{н} — давление насыщенного пара при данной температуре.

Шаг 2 — давление в конце. Поршень снова в равновесии, но теперь сверху на него давит ещё и вес песка: p_2=p_0+\dfrac{mg}{S}. Здесь mg — вес песка, а деление на площадь превращает силу в давление.

Шаг 3 — что стало с паром. «Роса только появилась» означает, что пар как раз дошёл до насыщения, но конденсироваться ещё практически не начал. Значит, до этого момента вся вода была паром, и к нему применим закон Бойля — Мариотта (температура постоянна): p_{п}V_1=p_{н}V_2\quad\Rightarrow\quad \varphi p_{н}V_1=p_{н}V_2\quad\Rightarrow\quad V_2=\varphi V_1. Смотри, как удачно: давление насыщенного пара сократилось, и объём уменьшился ровно во столько раз, какова была влажность.

Шаг 4 — что стало с сухим воздухом. Он не конденсируется, для него закон Бойля — Мариотта работает всегда: p'_{в}=p_{в}\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{p_{в}}{\varphi}.

Шаг 5 — собираем закон Дальтона в конце. Полное конечное давление — сумма давления сухого воздуха и насыщенного пара: \dfrac{p_{в}}{\varphi}+p_{н}=p_0+\dfrac{mg}{S}. Подставим p_{в}=p_0-\varphi p_{н} и умножим обе части на \varphi: p_0-\varphi p_{н}+\varphi p_{н}=\varphi\left(p_0+\dfrac{mg}{S}\right). Слагаемые с p_{н} взаимно уничтожаются — остаётся совсем простое соотношение p_0=\varphi\left(p_0+\dfrac{mg}{S}\right).

Шаг 6 — ответ. \varphi=\dfrac{p_0}{p_0+\dfrac{mg}{S}}=\dfrac{p_0S}{p_0S+mg}. Формула честная: если песка совсем мало (m\to0), влажность стремится к 100\% — росе достаточно чуть-чуть поджать воздух; а чем больше песка потребовалось, тем суше был воздух вначале. И заметь: табличное значение p_{н} в ответ не вошло вовсе, хотя по дороге использовалось дважды.

Почему такая модель. Влажный воздух — смесь газов, и по закону Дальтона его давление складывается из парциальных давлений компонентов, каждый из которых ведёт себя независимо. Пока пар ненасыщенный, он идеальный газ и подчиняется закону Бойля — Мариотта при постоянной температуре; момент появления росы — это граница, где давление пара достигает p_{н} и дальше расти не может. Поршень невесом, стенки гладкие, песок сыплют медленно, поэтому поршень всё время в равновесии, и его условие равновесия p_2S=p_0S+mg переводит вес песка в добавку к давлению.