ID: 00026523
Влажный воздух находится в вертикальном гладком цилиндрическом сосуде под невесомым поршнем с площадью S . На поршень медленно насыпают песок. На стенках сосуда появляется роса, если масса песка становится равной m . Температура влажного воздуха в сосуде поддерживается постоянной. Снаружи сосуда давление воздуха равно нормальному атмосферному давлению $p_{0}$. Определите первоначальную относительную влажность воздуха в сосуде.
Источник: ФИПИ
Что происходит в сосуде. Под невесомым поршнем заперт влажный воздух — смесь сухого воздуха и водяного пара. Поршень невесом и стенки гладкие, поэтому вначале давление внутри в точности равно наружному: $p_1=p_0$. Затем на поршень медленно сыплют песок, поршень опускается, смесь сжимается, и в какой-то момент на стенках выступает роса — это значит, что пар наконец стал насыщенным и начал конденсироваться. Случилось это ровно тогда, когда масса песка достигла $m$.
Шаг 1 — давления в начале. Обозначим начальное парциальное давление пара $p_{п}$, сухого воздуха — $p_{в}$. По закону Дальтона их сумма равна полному давлению: $$p_{п}+p_{в}=p_0.$$ По определению влажности $p_{п}=\varphi p_{н}$, где $p_{н}$ — давление насыщенного пара при данной температуре.
Шаг 2 — давление в конце. Поршень снова в равновесии, но теперь сверху на него давит ещё и вес песка: $$p_2=p_0+\dfrac{mg}{S}.$$ Здесь $mg$ — вес песка, а деление на площадь превращает силу в давление.
Шаг 3 — что стало с паром. «Роса только появилась» означает, что пар как раз дошёл до насыщения, но конденсироваться ещё практически не начал. Значит, до этого момента вся вода была паром, и к нему применим закон Бойля — Мариотта (температура постоянна): $$p_{п}V_1=p_{н}V_2\quad\Rightarrow\quad \varphi p_{н}V_1=p_{н}V_2\quad\Rightarrow\quad V_2=\varphi V_1.$$ Смотри, как удачно: давление насыщенного пара сократилось, и объём уменьшился ровно во столько раз, какова была влажность.
Шаг 4 — что стало с сухим воздухом. Он не конденсируется, для него закон Бойля — Мариотта работает всегда: $$p'_{в}=p_{в}\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{p_{в}}{\varphi}.$$
Шаг 5 — собираем закон Дальтона в конце. Полное конечное давление — сумма давления сухого воздуха и насыщенного пара: $$\dfrac{p_{в}}{\varphi}+p_{н}=p_0+\dfrac{mg}{S}.$$ Подставим $p_{в}=p_0-\varphi p_{н}$ и умножим обе части на $\varphi$: $$p_0-\varphi p_{н}+\varphi p_{н}=\varphi\left(p_0+\dfrac{mg}{S}\right).$$ Слагаемые с $p_{н}$ взаимно уничтожаются — остаётся совсем простое соотношение $$p_0=\varphi\left(p_0+\dfrac{mg}{S}\right).$$
Шаг 6 — ответ. $$\varphi=\dfrac{p_0}{p_0+\dfrac{mg}{S}}=\dfrac{p_0S}{p_0S+mg}.$$ Формула честная: если песка совсем мало ($m\to0$), влажность стремится к $100\%$ — росе достаточно чуть-чуть поджать воздух; а чем больше песка потребовалось, тем суше был воздух вначале. И заметь: табличное значение $p_{н}$ в ответ не вошло вовсе, хотя по дороге использовалось дважды.
Почему такая модель. Влажный воздух — смесь газов, и по закону Дальтона его давление складывается из парциальных давлений компонентов, каждый из которых ведёт себя независимо. Пока пар ненасыщенный, он идеальный газ и подчиняется закону Бойля — Мариотта при постоянной температуре; момент появления росы — это граница, где давление пара достигает $p_{н}$ и дальше расти не может. Поршень невесом, стенки гладкие, песок сыплют медленно, поэтому поршень всё время в равновесии, и его условие равновесия $p_2S=p_0S+mg$ переводит вес песка в добавку к давлению.