Задание 24 ЕГЭ по физике: Давление влажного воздуха в сосуде под поршнем при температуре t…

Влажный воздух — это смесь двух вещей: сухого воздуха и водяного пара. Каждая часть смеси давит сама по себе, а вместе они дают то давление, которое мы измеряем. В начале суммарное давление p_1=1{,}8\cdot 10^5 Па. Потом поршень вдвигают, объём уменьшают в k=4 раза, температуру держат прежней, и давление вырастает не в 4 раза, а всего в n=3. Вот это несовпадение и есть ключ к задаче.

Шаг 1 — давление насыщенного пара при 100 °C. Вода кипит тогда, когда давление её насыщенного пара сравнивается с внешним. При нормальном атмосферном давлении вода кипит как раз при 100 °C, значит p_{н}=10^5\ \text{Па}. Это значение нам понадобится дважды.

Шаг 2 — почему без конденсации не обойтись. Если бы весь пар остался паром, то и он, и сухой воздух при изотермическом сжатии в 4 раза увеличили бы своё давление ровно в 4 раза (закон Бойля — Мариотта), и итог был бы 4p_1=7{,}2\cdot 10^5 Па. А по условию стало 3p_1=5{,}4\cdot 10^5 Па — меньше. Значит, часть пара выпала в воду (сконденсировалась), и в конечном состоянии пар обязан быть насыщенным: p'_{пар}=p_{н}=10^5 Па.

Шаг 3 — сухой воздух. Он не конденсируется, поэтому для него закон Бойля — Мариотта работает честно: при уменьшении объёма в 4 раза его парциальное давление растёт в 4 раза: p'_{возд}=4p_{возд}.

Шаг 4 — закон Дальтона для конечного состояния. Давление смеси равно сумме парциальных давлений: p_2=p'_{возд}+p_{н}\quad\Rightarrow\quad 5{,}4\cdot 10^5=4p_{возд}+1\cdot 10^5. Отсюда 4p_{возд}=4{,}4\cdot 10^5 и p_{возд}=1{,}1\cdot 10^5 Па.

Шаг 5 — начальное давление пара и влажность. Снова закон Дальтона, теперь для начального состояния: p_{пар}=p_1-p_{возд}=1{,}8\cdot 10^5-1{,}1\cdot 10^5=0{,}7\cdot 10^5\ \text{Па}. Относительная влажность — это отношение давления пара к давлению насыщенного пара при той же температуре: \varphi=\dfrac{p_{пар}}{p_{н}}=\dfrac{0{,}7\cdot 10^5}{10^5}=0{,}7=70\%.

Проверим себя. Если бы пар не конденсировался, он дал бы в конце 4\cdot 0{,}7\cdot 10^5=2{,}8\cdot 10^5 Па — почти втрое больше давления насыщенного пара, что невозможно. Значит, конденсация действительно должна была случиться, и наш вывод согласован.

Почему такая модель. Сухой воздух и водяной пар считаем идеальными газами, а их давления складываем по закону Дальтона — компоненты смеси «не замечают» друг друга. Изотермическое сжатие описывается законом Бойля — Мариотта pV=\text{const}, но применять его к пару можно только пока пар остаётся ненасыщенным: как только давление доходит до p_{н}, начинается конденсация, лишний пар превращается в воду, и давление пара дальше не растёт — оно «упирается в потолок», зависящий только от температуры. Именно это свойство насыщенного пара и делает задачу решаемой.