Влажность — Задание 23 ЕГЭ по физике №00026788

Роса — это сконденсировавшийся пар. Пока пар «ненасыщенный», он спокойно висит в воздухе; как только он становится насыщенным, лишняя вода начинает оседать каплями на стенках. Сосуд закрыт, воды из него никуда не девается, значит при охлаждении плотность пара остаётся прежней — а вот планка, выше которой пар считается насыщенным, с понижением температуры опускается. Задача — найти температуру, на которой эти двое встретятся.

Шаг 1 — переводим плотность в давление. Водяной пар считаем идеальным газом, для него работает уравнение Менделеева–Клапейрона $pV=\dfrac{m}{\mu}RT$. Поделив на объём, получаем удобную форму через плотность:

$$p = \frac{\rho R T}{\mu}.$$

Здесь $\rho = 2\cdot10^{-2}$ кг/м³ — плотность пара, $\mu = 0{,}018$ кг/моль — молярная масса воды, $R = 8{,}31$ Дж/(моль$\cdot$К), а температура $52\,^\circ$С в кельвинах — это $T = 273 + 52 = 325$ К.

Шаг 2 — считаем парциальное давление пара:

$$p = \frac{2\cdot10^{-2}\cdot 8{,}31\cdot 325}{0{,}018} = \frac{54{,}0}{0{,}018} \approx 3000\ \text{Па}.$$

Три тысячи паскалей — это $30$ гПа (гектопаскаль равен $100$ Па), а на графике шкала как раз в гектопаскалях. Очень удобно.

Шаг 3 — когда пар станет насыщенным. При охлаждении в закрытом сосуде плотность пара не меняется, поэтому его давление меняется совсем чуть-чуть: оно пропорционально абсолютной температуре, а та упадёт с $325$ К примерно до $295$ К, то есть меньше чем на десятую часть. Поэтому с хорошей точностью можно считать, что давление пара остаётся около $30$ гПа. Роса выпадет, когда давление насыщенного пара станет равно давлению нашего пара:

$$p_{\text{н}}(t) = 30\ \text{гПа}.$$

Шаг 4 — читаем график. Находим на вертикальной оси отметку $30$ гПа (это середина между линиями $20$ и $40$), проводим горизонтальную линию до пересечения с кривой и опускаемся на ось температур. Кривая проходит через $30$ гПа примерно при $t \approx 22\,^\circ$С: при $20\,^\circ$С она даёт около $26$ гПа, при $25\,^\circ$С — около $36$ гПа, значит нужное значение лежит чуть выше двадцати градусов.

Проверим логику: при $52\,^\circ$С давление насыщенного пара огромно (по графику видно, что кривая круто уходит вверх), поэтому наши $30$ гПа там — далеко не насыщение, воздух сухой. По мере охлаждения кривая опускается и в районе $22\,^\circ$С догоняет наши $30$ гПа. Всё сходится.

Почему такая модель применима. Ненасыщенный водяной пар при таких давлениях (сотые доли атмосферы) с хорошей точностью подчиняется уравнению состояния идеального газа — только поэтому мы имеем право переводить плотность в давление формулой $p=\rho RT/\mu$. Сосуд закрыт и объём постоянен, значит масса и плотность пара при охлаждении сохраняются вплоть до самого начала конденсации — это и есть условие задачи «на стенках выпала роса», то есть температура точки росы. Само появление росы — это условие насыщения: пар не может иметь давление выше $p_{\text{н}}$ при данной температуре, излишек обязательно конденсируется.