Задание 23 ЕГЭ по физике: В сосуде содержится влажный воздух при температуре 52 в степени…

Роса — это сконденсировавшийся пар. Пока пар «ненасыщенный», он спокойно висит в воздухе; как только он становится насыщенным, лишняя вода начинает оседать каплями на стенках. Сосуд закрыт, воды из него никуда не девается, значит при охлаждении плотность пара остаётся прежней — а вот планка, выше которой пар считается насыщенным, с понижением температуры опускается. Задача — найти температуру, на которой эти двое встретятся.

Шаг 1 — переводим плотность в давление. Водяной пар считаем идеальным газом, для него работает уравнение Менделеева–Клапейрона pV=\dfrac{m}{\mu}RT. Поделив на объём, получаем удобную форму через плотность:

p = \frac{\rho R T}{\mu}.

Здесь \rho = 2\cdot10^{-2} кг/м³ — плотность пара, \mu = 0{,}018 кг/моль — молярная масса воды, R = 8{,}31 Дж/(моль\cdotК), а температура 52\,^\circС в кельвинах — это T = 273 + 52 = 325 К.

Шаг 2 — считаем парциальное давление пара:

p = \frac{2\cdot10^{-2}\cdot 8{,}31\cdot 325}{0{,}018} = \frac{54{,}0}{0{,}018} \approx 3000\ \text{Па}.

Три тысячи паскалей — это 30 гПа (гектопаскаль равен 100 Па), а на графике шкала как раз в гектопаскалях. Очень удобно.

Шаг 3 — когда пар станет насыщенным. При охлаждении в закрытом сосуде плотность пара не меняется, поэтому его давление меняется совсем чуть-чуть: оно пропорционально абсолютной температуре, а та упадёт с 325 К примерно до 295 К, то есть меньше чем на десятую часть. Поэтому с хорошей точностью можно считать, что давление пара остаётся около 30 гПа. Роса выпадет, когда давление насыщенного пара станет равно давлению нашего пара:

p_{\text{н}}(t) = 30\ \text{гПа}.

Шаг 4 — читаем график. Находим на вертикальной оси отметку 30 гПа (это середина между линиями 20 и 40), проводим горизонтальную линию до пересечения с кривой и опускаемся на ось температур. Кривая проходит через 30 гПа примерно при t \approx 22\,^\circС: при 20\,^\circС она даёт около 26 гПа, при 25\,^\circС — около 36 гПа, значит нужное значение лежит чуть выше двадцати градусов.

Проверим логику: при 52\,^\circС давление насыщенного пара огромно (по графику видно, что кривая круто уходит вверх), поэтому наши 30 гПа там — далеко не насыщение, воздух сухой. По мере охлаждения кривая опускается и в районе 22\,^\circС догоняет наши 30 гПа. Всё сходится.

Почему такая модель применима. Ненасыщенный водяной пар при таких давлениях (сотые доли атмосферы) с хорошей точностью подчиняется уравнению состояния идеального газа — только поэтому мы имеем право переводить плотность в давление формулой p=\rho RT/\mu. Сосуд закрыт и объём постоянен, значит масса и плотность пара при охлаждении сохраняются вплоть до самого начала конденсации — это и есть условие задачи «на стенках выпала роса», то есть температура точки росы. Само появление росы — это условие насыщения: пар не может иметь давление выше p_{\text{н}} при данной температуре, излишек обязательно конденсируется.